Question

En el viaje de regreso de la reunión donde se elaboró este AMC 10, el Presidente del Concurso notó que su recibo de estacionamiento del aeropuerto tenía dígitos de la forma $bbcac,$ donde $0\le a\lt b\lt c\le 9,$ y $b$ era el promedio de $a$ y $c.$ ¿Cuántos números de cinco dígitos distintos satisfacen todas estas propiedades?

On the trip home from the meeting where this AMC 10 was constructed, the Contest Chair noted that his airport parking receipt had digits of the form $bbcac,$ where $0\le a\lt b\lt c\le 9,$ and $b$ was the average of $a$ and $c.$ How many different five-digit numbers satisfy all these properties?

$12$

$16$

$18$

$20$

$24$

Solución:

Una vez elegidos $a$ y $c,$ $b=\dfrac{a+c}{2}$ queda determinado, y $a\lt b\lt c$ se cumple automáticamente. Para que $b$ sea entero, $a$ y $c$ deben tener la misma paridad.

Elegir dos dígitos pares de $\{0,2,4,6,8\}$ da $\binom{5}{2}=10$ pares, y elegir dos dígitos impares de $\{1,3,5,7,9\}$ da otros $10.$

Esto da $20$ números válidos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Once $a$ and $c$ are chosen, $b=\dfrac{a+c}{2}$ is determined, and $a\lt b\lt c$ holds automatically. For $b$ to be an integer, $a$ and $c$ must share parity.

Choosing two even digits from $\{0,2,4,6,8\}$ gives $\binom{5}{2}=10$ pairs, and choosing two odd digits from $\{1,3,5,7,9\}$ gives another $10.$

This yields $20$ valid numbers.

Thus, the correct answer is D.

2007 AMC 10B Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años