Question

¿Cuál es el dígito de las decenas de $2015^{2016}-2017$ ?

What is the tens digit of $2015^{2016}-2017?$

$\ 0$

$\ 1$

$\ 3$

$\ 5$

$\ 8$

Solución:

Para hallar el dígito de las decenas, primero necesitamos hallar el número módulo $100.$ Primero, podemos hallar $2015^{2016} \mod 100.$ Podemos hacerlo con el Teorema Chino del Resto obteniendo primero el número $\mod 4$ y luego $\mod 25.$

El número $2015^{2016} \equiv 0 \mod 25$ ya que es un múltiplo de $25.$

Luego, observa que $2015^{2016} \equiv (-1)^{2016}$ $\equiv 1 \mod 4 .$

Por el teorema chino del resto, podemos obtener que nuestro número es congruente con $25 \mod 100.$

Por lo tanto, $2015^{2016}-2017$ $\equiv 25 - 17 \mod 100$ $\equiv 8 \mod 100 .$ Esto significa que el dígito de las decenas es $0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

To find the tens digit, we first need to find the number modulo $100.$ First, we can find $2015^{2016} \mod 100.$ We can do this with the Chinese Remainder Theorem by first getting the number $\mod 4$ and then $\mod 25.$

The number $2015^{2016} \equiv 0 \mod 25$ since it is a multiple of $25.$

Then, observe that $2015^{2016} \equiv (-1)^{2016}$ $\equiv 1 \mod 4 .$

By the Chinese remainder theorem, we can get that our number is congruent to $25 \mod 100.$

Therefore, $2015^{2016}-2017$ $\equiv 25 - 17 \mod 100$ $\equiv 8 \mod 100 .$ This means the tens digit is $0.$

Thus, the correct answer is A .

2016 AMC 10B Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años