Question

¿Cuál es el dígito de las decenas de

2015^{2016}-2017

?

What is the tens digit of

2015^{2016}-2017?

\ 0

\ 1

\ 3

\ 5

\ 8

Trabaja módulo

100

para obtener el dígito de las decenas.

Work modulo

100

to get the tens digit

Usa congruencias módulo

4

y

25

.

Use congruences modulo

4

and

25

Para hallar el dígito de las decenas, primero necesitamos hallar el número módulo

100.

Primero, podemos hallar

2015^{2016} \mod 100.

Podemos hacerlo con el Teorema Chino del Resto obteniendo primero el número

\mod 4

y luego

\mod 25.

El número

2015^{2016} \equiv 0 \mod 25

ya que es un múltiplo de

25.

Luego, observa que

2015^{2016} \equiv (-1)^{2016}

\equiv 1 \mod 4 .

Por el teorema chino del resto, podemos obtener que nuestro número es congruente con

25 \mod 100.

Por lo tanto,

2015^{2016}-2017

\equiv 25 - 17 \mod 100

\equiv 8 \mod 100 .

Esto significa que el dígito de las decenas es

0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

To find the tens digit, we first need to find the number modulo

100.

First, we can find

2015^{2016} \mod 100.

We can do this with the Chinese Remainder Theorem by first getting the number

\mod 4

and then

\mod 25.

The number

2015^{2016} \equiv 0 \mod 25

since it is a multiple of

25.

Then, observe that

2015^{2016} \equiv (-1)^{2016}

\equiv 1 \mod 4 .

By the Chinese remainder theorem, we can get that our number is congruent to

25 \mod 100.

Therefore,

2015^{2016}-2017

\equiv 25 - 17 \mod 100

\equiv 8 \mod 100 .

This means the tens digit is

0.

Thus, the correct answer is A .