Question

La razón de las medidas de dos ángulos agudos es $5:4,$ y el complemento de uno de estos dos ángulos es dos veces mayor que el complemento del otro. ¿Cuál es la suma de las medidas en grados de los dos ángulos?

The ratio of the measures of two acute angles is $5:4,$ and the complement of one of these two angles is twice as large as the complement of the other. What is the sum of the degree measures of the two angles?

$\ 75$

$\ 90$

$\ 135$

$\ 150$

$\ 270$

Solución:

Sea el ángulo menor $x.$ Entonces, el ángulo mayor es $\frac 54 x.$ Observa que su suma es $\frac 94 x.$

Sus complementos son entonces $90-x$ y $90 - \frac 54x.$ Como $90-x$ es mayor que $90-\frac 54 x,$ sabemos que $\begin{align*}90 -x &= 2\left(90 - \frac 54 x\right) \\90-x&= 180-\frac 52 x\\x&=60.\end{align*}$

Por lo tanto, la suma es $\dfrac 94 \cdot 60=135.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the smaller angle be $x.$ Then, the larger angle is $\frac 54 x.$ Note that their sum is $\frac 94 x.$

Their complements are then $90-x$ and $90 - \frac 54x.$ Since $90-x$ is larger than $90-\frac 54 x,$ we know $\begin{align*}90 -x &= 2\left(90 - \frac 54 x\right) \\90-x&= 180-\frac 52 x\\x&=60.\end{align*}$

Therefore, the sum is $\dfrac 94 \cdot 60=135.$

Thus, the correct answer is C .

2016 AMC 10B Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años