Question

El símbolo

\lfloor x \rfloor

denota el mayor entero que no supera a

x.

Por ejemplo,

\lfloor 3 \rfloor = 3,

y

\lfloor \frac{9}{2} \rfloor = 4.

Calcula

\begin{gathered} \lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor \\ {}+ \cdots + \lfloor \sqrt{16} \rfloor. \end{gathered}

The symbolism

\lfloor x \rfloor

denotes the largest integer not exceeding

x.

For example,

\lfloor 3 \rfloor = 3,

and

\lfloor \frac{9}{2} \rfloor = 4.

Compute

\begin{gathered} \lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor \\ {}+ \cdots + \lfloor \sqrt{16} \rfloor. \end{gathered}

35

38

40

42

136

Respuesta: B

Conceptos:funciones piso y techo cuadrado perfecto sumatoria

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

\lfloor \sqrt{n} \rfloor = k

exactamente cuando

k^2 \le n \lt (k+1)^2

.

\lfloor \sqrt{n} \rfloor = k

exactly when

k^2 \le n \lt (k+1)^2

Pista grande:

Cuenta cuántos de

1

a

16

dan cada valor de la parte entera

1,

2,

3,

y

4

.

Count how many of

1

through

16

give each floor value

1,

2,

3,

and

4

Solución:

El valor es

1

para

n=1,2,3;

es

2

para

n=4,\ldots,8;

es

3

para

n=9,\ldots,15;

y es

4

para

n=16.

La suma es

3\cdot 1 + 5\cdot 2 + 7\cdot 3 + 1\cdot 4 = 38.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The value is

1

for

n=1,2,3;

it is

2

for

n=4,\ldots,8;

it is

3

for

n=9,\ldots,15;

and it is

4

for

n=16.

The sum is

3\cdot 1 + 5\cdot 2 + 7\cdot 3 + 1\cdot 4 = 38.

Thus, the correct answer is B.

2003 AMC 10B Problema 7

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años