Question

Sea $n$ un entero positivo tal que $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac17 + \dfrac1n$ es un entero. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es cierta?

Let $n$ be a positive integer such that $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac17 + \dfrac1n$ is an integer. Which of the following statements is not true?

$2$ divide a $n$

$2$ divides $n$

$3$ divide a $n$

$3$ divides $n$

$6$ divide a $n$

$6$ divides $n$

$7$ divide a $n$

$7$ divides $n$

$n \gt 84$

Solución:

La suma $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac17 + \dfrac1n$ es mayor que $0$ y menor que $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac17 + 1 \lt 2,$ así que como entero debe ser igual a $1.$

Como $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac17 = \dfrac{41}{42},$ necesitamos $\dfrac1n = \dfrac{1}{42},$ así que $n = 42.$

Entonces $2,$ $3,$ $6,$ y $7$ dividen todos a $42,$ pero $n = 42$ no es mayor que $84.$ Así que la afirmación falsa es $n \gt 84.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The sum $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac17 + \dfrac1n$ is greater than $0$ and less than $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac17 + 1 \lt 2,$ so as an integer it must equal $1.$

Since $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac17 = \dfrac{41}{42},$ we need $\dfrac1n = \dfrac{1}{42},$ so $n = 42.$

Then $2,$ $3,$ $6,$ and $7$ all divide $42,$ but $n = 42$ is not greater than $84.$ So the false statement is $n \gt 84.$

Thus, the correct answer is E.

2002 AMC 10B Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años