Question

Seis puntos están igualmente espaciados alrededor de una circunferencia de radio 1. Tres de estos puntos son los vértices de un triángulo que no es ni equilátero ni isósceles. ¿Cuál es el área de este triángulo?

Six points are equally spaced around a circle of radius 1. Three of these points are the vertices of a triangle that is neither equilateral nor isosceles. What is the area of this triangle?

$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$1$

$\sqrt{2}$

$2$

Solución:

Seis puntos igualmente espaciados en la circunferencia forman un hexágono regular. Un triángulo que use tres de ellos no es equilátero ni isósceles solo cuando sus ángulos son $30^\circ,60^\circ,90^\circ$ .

La hipotenusa es un diámetro de la circunferencia unitaria, así que tiene longitud $2$ . Los catetos del triángulo $30$ - $60$ - $90$ son $1$ y $\sqrt3$ .

El área es $\frac12\cdot1\cdot\sqrt3=\frac{\sqrt3}{2}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Six equally spaced points on the circle form a regular hexagon. A triangle using three of them is not equilateral or isosceles only when its angles are $30^\circ,60^\circ,90^\circ$ .

The hypotenuse is a diameter of the unit circle, so it has length $2$ . The legs of the $30$ - $60$ - $90$ triangle are $1$ and $\sqrt3$ .

The area is $\frac12\cdot1\cdot\sqrt3=\frac{\sqrt3}{2}$ .

Thus, the correct answer is B .

2013 AMC 10B Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años