Question

El mínimo común múltiplo de un entero positivo $n$ y $18$ es $180,$ y el máximo común divisor de $n$ y $45$ es $15.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos de $n$ ?

The least common multiple of a positive integer $n$ and $18$ is $180,$ and the greatest common divisor of $n$ and $45$ is $15.$ What is the sum of the digits of $n?$

$3$

$6$

$8$

$9$

$12$

Solución:

Factoriza en primos $18=2\cdot3^2,$ $45=3^2\cdot5,$ y $180=2^2\cdot3^2\cdot5.$

La condición del mínimo común múltiplo obliga a que el exponente de $2$ en $n$ sea $2$ , el exponente de $5$ sea $1$ , el exponente de $3$ sea a lo sumo $2$ , y todos los demás exponentes primos sean $0$ . La condición del máximo común divisor $\gcd(n,45)=15=3\cdot5$ obliga además a que el exponente de $3$ en $n$ sea exactamente $1$ .

Por lo tanto $n=2^2\cdot3\cdot5=60,$ y la suma de sus dígitos es $6.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Prime factorize $18=2\cdot3^2,$ $45=3^2\cdot5,$ and $180=2^2\cdot3^2\cdot5.$

The lcm condition forces the exponent of $2$ in $n$ to be $2$ , the exponent of $5$ to be $1$ , the exponent of $3$ to be at most $2$ , and every other prime exponent to be $0$ . The gcd condition $\gcd(n,45)=15=3\cdot5$ further forces the exponent of $3$ in $n$ to be exactly $1$ .

Therefore $n=2^2\cdot3\cdot5=60,$ and the sum of its digits is $6.$

Thus, B is the correct answer.

2022 AMC 10A Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años