Question

¿Para cuántos valores enteros de $n$ (no necesariamente positivos) la siguiente expresión es un entero? $4000 \cdot \left(\dfrac{2}{5}\right)^n$

For how many (not necessarily positive) integer values of $n$ is the following value an integer? $4000 \cdot \left(\dfrac{2}{5}\right)^n$

$3$

$4$

$6$

$8$

$9$

Solución:

Podemos reescribir la expresión como $(2^5 \cdot 5^3) \cdot \left(\dfrac{2}{5}\right)^n = 2^{5 + n} \cdot 5^{3 - n}.$

Para que sea un entero, los exponentes deben ser no negativos, es decir $\begin{align*} 5 + n \geq 0 &\Rightarrow n \geq -5 \\ 3 - n \geq 0 &\Rightarrow n \leq 3. \end{align*}$

Esto nos da $5 + 3 + 1 = 9$ valores para $n.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

We can rewrite the expression as $(2^5 \cdot 5^3) \cdot \left(\dfrac{2}{5}\right)^n = 2^{5 + n} \cdot 5^{3 - n}.$

For this to be an integer, the exponents must be positive. This means that $\begin{align*} 5 + n \geq 0 &\Rightarrow n \geq -5 \\ 3 - n \geq 0 &\Rightarrow n \leq 3. \end{align*}$

This gives us $5 + 3 + 1 = 9$ values for $n.$

Thus, E is the correct answer.

2018 AMC 10A Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años