Question

Frances está $15$ metros directamente al sur de una puerta cerrada con llave en una cerca que corre de este a oeste. Justo detrás de la cerca hay una caja de chocolates, ubicada $x$ metros al este de la puerta cerrada. Una puerta sin llave está $9$ metros al este de la caja, y otra puerta sin llave está $8$ metros al oeste de la puerta cerrada. Frances puede llegar a la caja caminando hacia una puerta sin llave, cruzándola, y caminando hacia la caja. Resulta que la distancia total que Frances recorrería sería la misma por cualquiera de las dos puertas sin llave. ¿Cuál es el valor de $x$ ?

Frances stands $15$ meters directly south of a locked gate in a fence that runs east-west. Immediately behind the fence is a box of chocolates, located $x$ meters east of the locked gate. An unlocked gate lies $9$ meters east of the box, and another unlocked gate lies $8$ meters west of the locked gate. Frances can reach the box by walking toward an unlocked gate, passing through it, and walking toward the box. It happens that the total distance Frances would travel would be the same via either unlocked gate. What is the value of $x?$

$3\tfrac{2}{7}$

$3\tfrac{3}{7}$

$3\tfrac{4}{7}$

$3\tfrac{5}{7}$

$3\tfrac{6}{7}$

Solución:

Pon la cerca sobre el eje $x$ , la puerta cerrada en el origen, y a Frances en $(0, -15).$ Entonces la caja está en $(x, 0),$ la puerta este en $(x + 9, 0),$ y la puerta oeste en $(-8, 0).$ La ruta este es $\sqrt{(x + 9)^2 + 15^2} + 9;$ la ruta oeste es $\sqrt{8^2 + 15^2}$ $+ (x + 8) = 17 + x + 8.$ Igualándolas: $\sqrt{(x + 9)^2 + 225} = x + 16.$ Eleva al cuadrado y simplifica para obtener $18x + 306 = 32x + 256,$ así que $x = \tfrac{50}{14} = \tfrac{25}{7} = 3\tfrac{4}{7}.$ Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Put the fence on the $x$ -axis, the locked gate at the origin, and Frances at $(0, -15).$ Then the box is at $(x, 0),$ the east gate at $(x + 9, 0),$ and the west gate at $(-8, 0).$ The east route is $\sqrt{(x + 9)^2 + 15^2} + 9;$ the west route is $\sqrt{8^2 + 15^2}$ $+ (x + 8) = 17 + x + 8.$ Set them equal: $\sqrt{(x + 9)^2 + 225} = x + 16.$ Square and simplify to get $18x + 306 = 32x + 256,$ so $x = \tfrac{50}{14} = \tfrac{25}{7} = 3\tfrac{4}{7}.$ Thus, C is the correct answer.

2025 AMC 10B Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años