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2025 AMC 10B Problema 8

Intenta el Problema 8 del 2025 AMC 10B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2025 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

8.

Emmy le dice a Max: «Hoy pedí 3636 sudaderas del club de matemáticas.» Max pregunta: «¿Cuánto costó cada camiseta?» Emmy responde: «Te daré una pista. El costo total fue $A‾ B‾ B‾.B‾ A‾,\$\underline{A}\,\underline{B}\,\underline{B}.\underline{B}\,\underline{A}, donde AA y BB son dígitos y A≠0.A \ne 0.» Tras una pausa, Max dice: «Ese fue un buen precio.» ¿Cuánto vale A+BA + B?
Emmy says to Max, “I ordered 3636 math club sweatshirts today.” Max asks, “How much did each shirt cost?” Emmy responds, “I’ll give you a hint. The total cost was $A‾ B‾ B‾.B‾ A‾,\$\underline{A}\,\underline{B}\,\underline{B}.\underline{B}\,\underline{A}, where AA and BB are digits and A≠0.A \ne 0.” After a pause, Max says, “That was a good price.” What is A+B?A + B?
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88
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1414
1515
Respuesta: C
Conceptos:divisibilidadaritmética modularvalor posicional
Nivel de dificultad: 1350
Pista pequeña:
Escribe el total en centavos: A‾ B‾ B‾.B‾ A‾\underline{A}\,\underline{B}\,\underline{B}.\underline{B}\,\underline{A} es 10001A+1110B10001A + 1110B centavos, y debe ser divisible entre 3636.
Write the total in cents: A‾ B‾ B‾.B‾ A‾\underline{A}\,\underline{B}\,\underline{B}.\underline{B}\,\underline{A} is 10001A+1110B10001A + 1110B cents, and it must be divisible by 3636
Pista grande:
Reduce la condición módulo 3636 a 7A+6B≡0;7A + 6B \equiv 0; prueba dígitos para encontrar los únicos A,BA, B.
Reduce the condition modulo 3636 to 7A+6B≡0;7A + 6B \equiv 0; test digits to find the unique A,BA, B
Solución:
En centavos el total es 10000A+1000B+100B10000A + 1000B + 100B +10B+A+ 10B + A =10001A+1110B.= 10001A + 1110B. Se reparte por igual entre 3636 camisetas, así que es divisible entre 36.36. Ahora 10001≡2910001 \equiv 29 y 1110≡30(mod36),1110 \equiv 30 \pmod{36}, así que necesitamos 29A+30B≡0,29A + 30B \equiv 0, lo que se reduce a 7A+6B≡0(mod36).7A + 6B \equiv 0 \pmod{36}. La única solución en dígitos con A≠0A \ne 0 es A=6,B=5,A = 6, B = 5, ya que 7⋅6+6⋅5=72.7 \cdot 6 + 6 \cdot 5 = 72. Eso es $655.56,\$655.56, o $18.21\$18.21 por camiseta, así que A+B=11.A + B = 11. Por lo tanto, la respuesta es C.
In cents the total is 10000A+1000B+100B10000A + 1000B + 100B +10B+A+ 10B + A =10001A+1110B.= 10001A + 1110B. Split evenly among 3636 shirts, so it’s divisible by 36.36. Now 10001≡2910001 \equiv 29 and 1110≡30(mod36),1110 \equiv 30 \pmod{36}, so we need 29A+30B≡0,29A + 30B \equiv 0, which reduces to 7A+6B≡0(mod36).7A + 6B \equiv 0 \pmod{36}. The only digit solution with A≠0A \ne 0 is A=6,B=5,A = 6, B = 5, since 7⋅6+6⋅5=72.7 \cdot 6 + 6 \cdot 5 = 72. That’s $655.56,\$655.56, or $18.21\$18.21 a shirt, so A+B=11.A + B = 11. Therefore, the answer is C.
Problema 7#7
Examen completo
Problema 9#9

El Problema 8 en otros años

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