Question

Las sumas de tres números enteros tomados de dos en dos son $12, 17,$ y $19.$ ¿Cuál es el número del medio?

The sums of three whole numbers taken in pairs are $12, 17,$ and $19.$ What is the middle number?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Sean los tres números $a, b, c$ donde $a \lt b \lt c.$ Ninguno es igual, ya que las tres sumas son distintas.

Entonces $a + b = 12, a + c = 17,$ y $b + c = 19.$

Sumando las tres ecuaciones obtenemos $2(a + b + c) = 48.$

Entonces $a + b + c = 24,$ de la cual podemos restar $a + c = 17,$ para obtener $b = 7.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let the three numbers be $a, b, c$ where $a \lt b \lt c.$ None of them are equal, since all three sums are different.

Then $a + b = 12, a + c = 17,$ and $b + c = 19.$

Adding all three equations together gives us $2(a + b + c) = 48.$

Then $a + b + c = 24,$ from which we can subtract $a + c = 17,$ to get $b = 7.$

Thus, D is the correct answer.