Question

Agnes escribe las siguientes cuatro afirmaciones en una hoja de papel en blanco.

• Al menos una de estas afirmaciones es verdadera.

• Al menos dos de estas afirmaciones son verdaderas.

• Al menos dos de estas afirmaciones son falsas.

• Al menos una de estas afirmaciones es falsa.

Cada afirmación es verdadera o falsa. ¿Cuántas afirmaciones falsas escribió Agnes en el papel?

Agnes writes the following four statements on a blank piece of paper.

• At least one of these statements is true.

• At least two of these statements are true.

• At least two of these statements are false.

• At least one of these statements is false.

Each statement is either true or false. How many false statements did Agnes write on the paper?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Solución:

Numerémoslas: (1) al menos una verdadera, (2) al menos dos verdaderas, (3) al menos dos falsas, (4) al menos una falsa. Supón que (3) es verdadera. Entonces al menos dos afirmaciones son falsas. Pero entonces (1), (2) y (4) resultan todas verdaderas, lo que deja como máximo una afirmación falsa. Eso es una contradicción, así que (3) debe ser falsa. Ahora (1), (2) y (4) son todas verdaderas, y cada una coincide con la realidad al haber solo una afirmación falsa. Así que exactamente $1$ afirmación es falsa. Por lo tanto, la respuesta es B.

Number them: (1) at least one true, (2) at least two true, (3) at least two false, (4) at least one false. Suppose (3) is true. Then at least two statements are false. But then (1), (2), and (4) all read as true, which leaves at most one false statement. That's a contradiction, so (3) must be false. Now (1), (2), and (4) are all true, and each matches reality with just one false statement. So exactly $1$ statement is false. Therefore, the answer is B.

2025 AMC 10A Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años