Question

Sea $f(x) = 100x^3 - 300x^2 + 200x.$ ¿Para cuántos números reales $a$ la gráfica de $y = f(x - a)$ pasa por el punto $(1, 25)$ ?

Let $f(x) = 100x^3 - 300x^2 + 200x.$ For how many real numbers $a$ does the graph of $y = f(x - a)$ pass through the point $(1, 25)?$

$1$

$2$

$3$

$4$

más de $4$

more than $4$

Solución:

La gráfica pasa por $(1,25)$ exactamente cuando $f(1 - a) = 25$ . Sea $t = 1 - a$ , de modo que contamos las soluciones de $f(t) = 25$ . Factoriza $f(x) = 100x(x-1)(x-2)$ , con raíces $0, 1, 2$ . En $(0,1)$ , la función es positiva y $f(0.5) = 37.5 \gt 25$ , así que la continuidad da una raíz a cada lado de $0.5$ . En $(1,2)$ la función es negativa, mientras que para $x \gt 2$ crece desde $0$ hasta infinito, dando una raíz más. Así que $y = 25$ corta a la cúbica en $3$ puntos. Cada uno da un $a$ , por lo que hay $3$ valores. Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The graph passes through $(1,25)$ exactly when $f(1 - a) = 25$ . Let $t = 1 - a$ , so we count solutions of $f(t) = 25$ . Factor $f(x) = 100x(x-1)(x-2)$ , with roots $0, 1, 2$ . On $(0,1)$ , the function is positive and $f(0.5) = 37.5 \gt 25$ , so continuity gives one root on each side of $0.5$ . On $(1,2)$ the function is negative, while for $x \gt 2$ it increases from $0$ to infinity, giving one more root. Thus $y = 25$ meets the cubic in $3$ points. Each gives one $a$ , so there are $3$ values. Thus, C is the correct answer.

2025 AMC 10A Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años