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2009 AMC 10B Problema 9

Intenta el Problema 9 del 2009 AMC 10B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2009 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

9.

Los segmentos BDBD y AEAE se cortan en C,C, como se muestra, AB=BC=CD=CE,AB=BC=CD=CE, y ∠A=52∠B.\angle A=\dfrac52\angle B. ¿Cuál es la medida en grados de ∠D\angle D?
Segment BDBD and AEAE intersect at C,C, as shown, AB=BC=CD=CE,AB=BC=CD=CE, and ∠A=52∠B.\angle A=\dfrac52\angle B. What is the degree measure of ∠D?\angle D?
52.552.5
5555
57.557.5
6060
62.562.5
Respuesta: A
Conceptos:persecución de ángulostriángulo isóscelessuma de ángulos
Nivel de dificultad: 1240
Pista pequeña:
En △ABC,\triangle ABC, AB=BCAB=BC por lo que ∠A=∠C\angle A=\angle C.
In △ABC,\triangle ABC, AB=BCAB=BC so ∠A=∠C\angle A=\angle C
Pista grande:
∠DCE\angle DCE es igual a ∠ACB\angle ACB por ángulos opuestos por el vértice, y △CDE\triangle CDE es isósceles.
∠DCE\angle DCE equals ∠ACB\angle ACB by vertical angles, and △CDE\triangle CDE is isosceles
Solución:
Como △ABC\triangle ABC es isósceles con AB=BC,AB=BC, tenemos ∠A=∠C.\angle A=\angle C. Con ∠A=52∠B,\angle A=\dfrac52\angle B, la suma de ángulos da 52∠B+52∠B+∠B=180∘, \dfrac52\angle B+\dfrac52\angle B+\angle B=180^\circ, así que ∠B=30∘\angle B=30^\circ y ∠ACB=75∘.\angle ACB=75^\circ.
Por ángulos opuestos por el vértice, ∠DCE=75∘.\angle DCE=75^\circ. Como CD=CE,CD=CE, el triángulo CDECDE es isósceles, así que 2∠D+75∘=180∘, 2\angle D+75^\circ=180^\circ, de donde ∠D=52.5∘.\angle D=52.5^\circ.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Since △ABC\triangle ABC is isosceles with AB=BC,AB=BC, we have ∠A=∠C.\angle A=\angle C. With ∠A=52∠B,\angle A=\dfrac52\angle B, the angle sum gives 52∠B+52∠B+∠B=180∘, \dfrac52\angle B+\dfrac52\angle B+\angle B=180^\circ, so ∠B=30∘\angle B=30^\circ and ∠ACB=75∘.\angle ACB=75^\circ.
By vertical angles ∠DCE=75∘.\angle DCE=75^\circ. Since CD=CE,CD=CE, triangle CDECDE is isosceles, so 2∠D+75∘=180∘, 2\angle D+75^\circ=180^\circ, giving ∠D=52.5∘.\angle D=52.5^\circ.
Thus, the correct answer is A.
Problema 8#8
Examen completo
Problema 10#10

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