Question

Los segmentos $BD$ y $AE$ se cortan en $C,$ como se muestra, $AB=BC=CD=CE,$ y $\angle A=\dfrac52\angle B.$ ¿Cuál es la medida en grados de $\angle D$ ?

Segment $BD$ and $AE$ intersect at $C,$ as shown, $AB=BC=CD=CE,$ and $\angle A=\dfrac52\angle B.$ What is the degree measure of $\angle D?$

$52.5$

$55$

$57.5$

$60$

$62.5$

Solución:

Como $\triangle ABC$ es isósceles con $AB=BC,$ tenemos $\angle A=\angle C.$ Con $\angle A=\dfrac52\angle B,$ la suma de ángulos da $\dfrac52\angle B+\dfrac52\angle B+\angle B=180^\circ,$ así que $\angle B=30^\circ$ y $\angle ACB=75^\circ.$

Por ángulos opuestos por el vértice, $\angle DCE=75^\circ.$ Como $CD=CE,$ el triángulo $CDE$ es isósceles, así que $2\angle D+75^\circ=180^\circ,$ de donde $\angle D=52.5^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $\triangle ABC$ is isosceles with $AB=BC,$ we have $\angle A=\angle C.$ With $\angle A=\dfrac52\angle B,$ the angle sum gives $\dfrac52\angle B+\dfrac52\angle B+\angle B=180^\circ,$ so $\angle B=30^\circ$ and $\angle ACB=75^\circ.$

By vertical angles $\angle DCE=75^\circ.$ Since $CD=CE,$ triangle $CDE$ is isosceles, so $2\angle D+75^\circ=180^\circ,$ giving $\angle D=52.5^\circ.$

Thus, the correct answer is A.

2009 AMC 10B Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años