Question

Supón que

$\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6}$

es un entero. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones debe ser verdadera sobre $x$ ?

Suppose that

$\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6}$

is an integer. Which of the following statements must be true about $x?$

Es negativo.

It is negative.

Es par, pero no necesariamente múltiplo de $3.$

It is even, but not necessarily a multiple of $3.$

Es múltiplo de $3,$ pero no necesariamente par.

It is a multiple of $3,$ but not necessarily even.

Es múltiplo de $6,$ pero no necesariamente múltiplo de $12.$

It is a multiple of $6,$ but not necessarily a multiple of $12.$

Es múltiplo de $12.$

It is a multiple of $12.$

Combinando sobre un denominador común, $\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6} = \dfrac{4x - x}{6} = \dfrac{x}{2}.$

Para que $\dfrac{x}{2}$ sea entero, $x$ debe ser par.

El ejemplo $x = 4$ muestra que $x$ no tiene por qué ser múltiplo de $3$ y descarta las demás afirmaciones.

Así, la respuesta correcta es B.

Combining over a common denominator, $\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6} = \dfrac{4x - x}{6} = \dfrac{x}{2}.$

For $\dfrac{x}{2}$ to be an integer, $x$ must be even.

The example $x = 4$ shows that $x$ need not be a multiple of $3$ and rules out the other statements.

Thus, the correct answer is B.