Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

2019 AMC 10A Problema 9

Intenta el Problema 9 del 2019 AMC 10A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2019 AMC 10A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

9.

¿Cuál es el mayor entero positivo de tres cifras nn para el cual la suma de los primeros nn enteros positivos no es un divisor del producto de los primeros nn enteros positivos?
What is the greatest three-digit positive integer nn for which the sum of the first nn positive integers is not a divisor of the product of the first nn positive integers?
995995
996996
997997
998998
999999
Respuesta: B
Conceptos:factorialdivisibilidadprimo
Nivel de dificultad: 1420
Pista pequeña:
La suma 1+2+⋯+n1+2+\cdots+n es igual a n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}.
The sum 1+2+⋯+n1+2+\cdots+n equals n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}
Pista grande:
El obstáculo surge cuando n+1n+1 aporta un nuevo factor primo.
The obstruction comes from when n+1n+1 contributes a new prime factor
Solución:
La suma de los primeros nn números es n(n+1)2.\dfrac{n(n + 1)}{2}. Necesitamos que esta cantidad no divida a n!.n!.
Sea m=n+1m=n+1. Si mm es compuesto, escribimos m=abm=ab con 2≤a≤b2\le a\le b. Si a<ba<b, los factores distintos aa y bb aparecen ambos en (m−2)!=(n−1)!.(m-2)!=(n-1)!. Si a=ba=b, tenemos a≥3a\ge3, y los dos múltiplos aa y 2a2a aparecen ambos en (m−2)!(m-2)!, así que a2=ma^2=m también divide ese factorial. Por tanto, (n−1)!(n-1)! es divisible por m,m, y en consecuencia n! es divisible por n(n+1)2.n! \text{ es divisible por } \frac{n(n+1)}2.
Recíprocamente, si n+1n+1 es primo, ese factor primo no aparece en n!n!, así que la divisibilidad falla. Como 997997 es primo, mientras que 998,999,998,999, y 10001000 son compuestos, el mayor valor de tres cifras es 997−1=996.997-1=996.
Por tanto, B es la respuesta correcta.
The sum of the first nn numbers is n(n+1)2.\dfrac{n(n + 1)}{2}. We need this to not divide n!.n!.
Put m=n+1m=n+1. If mm is composite, write m=abm=ab with 2≤a≤b2\le a\le b. When a<ba<b, the distinct factors aa and bb both occur in (m−2)!=(n−1)!(m-2)!=(n-1)!. When a=ba=b, we have a≥3a\ge3, and the two multiples aa and 2a2a both occur in (m−2)!(m-2)!, so a2=ma^2=m divides that factorial as well. Thus (n−1)!(n-1)! is divisible by mm, and consequently n! is divisible by n(n+1)2.n! \text{ is divisible by } \frac{n(n+1)}2.
Conversely, if n+1n+1 is prime, that prime factor does not occur in n!n!, so the divisibility fails. Since 997997 is prime while 998,999,998,999, and 10001000 are composite, the greatest three-digit value is 997−1=996.997-1=996.
Thus, B is the correct answer.
Problema 8#8
Examen completo
Problema 10#10

El Problema 9 en otros años

2000 AMC 10 · 2001 AMC 10 · 2002 AMC 10A · 2002 AMC 10B · 2003 AMC 10A · 2003 AMC 10B · 2004 AMC 10A · 2004 AMC 10B · 2005 AMC 10A · 2005 AMC 10B · 2006 AMC 10A · 2006 AMC 10B · 2007 AMC 10A · 2007 AMC 10B · 2008 AMC 10A · 2008 AMC 10B · 2009 AMC 10A · 2009 AMC 10B · 2010 AMC 10A · 2010 AMC 10B · 2011 AMC 10A · 2011 AMC 10B · 2012 AMC 10A · 2012 AMC 10B · 2013 AMC 10A · 2013 AMC 10B · 2014 AMC 10A · 2014 AMC 10B · 2015 AMC 10A · 2015 AMC 10B · 2016 AMC 10A · 2016 AMC 10B · 2017 AMC 10A · 2017 AMC 10B · 2018 AMC 10A · 2018 AMC 10B · 2019 AMC 10B · 2020 AMC 10A · 2020 AMC 10B · 2021 AMC 10A Spring · 2021 AMC 10B Spring · 2021 AMC 10A Fall · 2021 AMC 10B Fall · 2022 AMC 10A · 2022 AMC 10B · 2023 AMC 10A · 2023 AMC 10B · 2024 AMC 10A · 2024 AMC 10B · 2025 AMC 10A · 2025 AMC 10B