Question

¿Cuál es el mayor entero positivo de tres cifras $n$ para el cual la suma de los primeros $n$ enteros positivos no es un divisor del producto de los primeros $n$ enteros positivos?

What is the greatest three-digit positive integer $n$ for which the sum of the first $n$ positive integers is not a divisor of the product of the first $n$ positive integers?

$995$

$996$

$997$

$998$

$999$

Solución:

La suma de los primeros $n$ números es $\dfrac{n(n + 1)}{2}.$ Necesitamos que esto no divida a $n!.$

Si $n + 1$ es compuesto, entonces $n + 1$ divide a $2(n-1)!.$ Si es un producto de dos factores distintos menores que $n,$ ambos aparecen en $(n-1)!.$ Si es el cuadrado de un primo, $(n-1)!$ contiene dos copias de ese primo. Por lo tanto, $\dfrac{n(n+1)}{2}$ divide a $n!.$

Recíprocamente, si $n + 1$ es primo, ese factor primo no aparece en $n!.$ Así, la condición se cumple exactamente cuando $n+1$ es primo, y el mayor $n$ de tres cifras es $997 - 1 = 996.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The sum of the first $n$ numbers is $\dfrac{n(n + 1)}{2}.$ We need this to not divide $n!.$

If $n + 1$ is composite, then $n + 1$ divides $2(n-1)!.$ If it is a product of two distinct factors less than $n,$ both occur in $(n-1)!.$ If it is a prime square, $(n-1)!$ contains two copies of that prime. Hence $\dfrac{n(n+1)}{2}$ divides $n!.$

Conversely, if $n + 1$ is prime, that prime factor does not occur in $n!.$ Thus the condition holds exactly when $n+1$ is prime, and the greatest three-digit $n$ is $997 - 1 = 996.$

Thus, B is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años