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2004 AMC 10A Problema 9

Intenta el Problema 9 del 2004 AMC 10A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2004 AMC 10A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

9.

En la figura, ∠EAB\angle EAB y ∠ABC\angle ABC son ángulos rectos, AB=4,AB = 4, BC=6,BC = 6, AE=8,AE = 8, y AC‾\overline{AC} y BE‾\overline{BE} se cortan en D.D. ¿Cuál es la diferencia entre las áreas de △ADE\triangle ADE y △BDC\triangle BDC?
In the figure, ∠EAB\angle EAB and ∠ABC\angle ABC are right angles, AB=4,AB = 4, BC=6,BC = 6, AE=8,AE = 8, and AC‾\overline{AC} and BE‾\overline{BE} intersect at D.D. What is the difference between the areas of △ADE\triangle ADE and △BDC?\triangle BDC?
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Respuesta: B
Conceptos:área del triángulodescomposición de áreas
Nivel de dificultad: 1330
Pista pequeña:
Al sumar △ABD\triangle ABD a cada uno de los dos triángulos se obtienen dos triángulos más grandes.
Adding △ABD\triangle ABD to each of the two triangles produces two larger triangles
Pista grande:
Al restar el área compartida, [ADE]−[BDC][ADE] - [BDC] es igual a [ABE]−[ABC][ABE] - [ABC].
Subtracting the shared area makes [ADE]−[BDC][ADE] - [BDC] equal to [ABE]−[ABC][ABE] - [ABC]
Solución:
Sea [ABD][ABD] el área compartida por ambos triángulos grandes. Entonces [ABE]=[ADE]+[ABD][ABE] = [ADE] + [ABD] y [ABC]=[BDC]+[ABD].[ABC] = [BDC] + [ABD].
Restando, [ADE]−[BDC]=[ABE]−[ABC]. \begin{aligned} &[ADE] - [BDC] \\ &= [ABE] - [ABC]. \end{aligned} Como ∠EAB\angle EAB y ∠ABC\angle ABC son ángulos rectos, [ABE]=12(4)(8)=16,[ABC]=12(4)(6)=12. \begin{aligned} [ABE] &= \tfrac12(4)(8) = 16, \\ [ABC] &= \tfrac12(4)(6) = 12. \end{aligned}
La diferencia es 16−12=4.16 - 12 = 4.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Let [ABD][ABD] be the area shared by both large triangles. Then [ABE]=[ADE]+[ABD][ABE] = [ADE] + [ABD] and [ABC]=[BDC]+[ABD].[ABC] = [BDC] + [ABD].
Subtracting, [ADE]−[BDC]=[ABE]−[ABC]. \begin{aligned} &[ADE] - [BDC] \\ &= [ABE] - [ABC]. \end{aligned} Since ∠EAB\angle EAB and ∠ABC\angle ABC are right angles, [ABE]=12(4)(8)=16,[ABC]=12(4)(6)=12. \begin{aligned} [ABE] &= \tfrac12(4)(8) = 16, \\ [ABC] &= \tfrac12(4)(6) = 12. \end{aligned}
The difference is 16−12=4.16 - 12 = 4.
Thus, the correct answer is B.
Problema 8#8
Examen completo
Problema 10#10

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