Question

Los enteros positivos $a$ , $b$ y $2009$ satisfacen $a \lt b \lt 2009$ y, en ese orden, forman una sucesión geométrica con razón entera. ¿Cuánto vale $a$ ?

Positive integers $a,$ $b,$ and $2009,$ with $a \lt b \lt 2009,$ form a geometric sequence with an integer ratio. What is $a?$

$7$

$41$

$49$

$287$

$2009$

Solución:

Sea $r$ la razón común. Entonces $a r^2 = 2009 = 7^2 \cdot 41$ .

Como $r$ debe ser un entero mayor que $1$ , la única posibilidad es $r = 7$ , lo que da $a = 41$ y la sucesión $41, 287, 2009$ .

Así, la respuesta correcta es B.

Let the common ratio be $r.$ Then $a r^2 = 2009 = 7^2 \cdot 41.$

Since $r$ must be an integer greater than $1,$ the only possibility is $r = 7,$ giving $a = 41$ and the sequence $41, 287, 2009.$

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 10A Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años