Soluciones del 2009 AMC 10A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Una lata contiene $12$ onzas de refresco. ¿Cuál es el número mínimo de latas necesarias para proporcionar un galón ( $128$ onzas) de refresco?

One can holds $12$ ounces of soda. What is the minimum number of cans needed to provide a gallon ( $128$ ounces) of soda?

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Conceptos:divisibilidad estimación

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Divide $128$ entre $12$ .

Divide $128$ by $12$

Pista grande:

Una última lata parcialmente llena sigue contando como una lata entera.

A partly filled last can still counts as a whole can

Solución:

Como $\dfrac{128}{12} = 10\dfrac{2}{3}$ , diez latas solo contienen $120$ onzas, lo cual no es suficiente.

Por lo tanto, se necesitan $11$ latas.

Así, la respuesta correcta es E.

Since $\dfrac{128}{12} = 10\dfrac{2}{3},$ ten cans hold only $120$ ounces, which is not enough.

Therefore $11$ cans are needed.

Thus, the correct answer is E.

2.

Se sacan cuatro monedas de una alcancía que contiene una colección de peniques, monedas de cinco centavos, monedas de diez centavos y monedas de veinticinco centavos. ¿Cuál de las siguientes opciones no podría ser el valor total de las cuatro monedas, en centavos?

Four coins are picked out of a piggy bank that contains a collection of pennies, nickels, dimes, and quarters. Which of the following could not be the total value of the four coins, in cents?

$15$

$25$

$35$

$45$

$55$

Conceptos:dinero divisibilidad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 940

Pista pequeña:

Un total que es múltiplo de $5$ obliga a que el número de peniques sea múltiplo de $5$ .

A total that is a multiple of $5$ forces the number of pennies to be a multiple of $5$

Pista grande:

Sin peniques, cuatro monedas valen al menos $4 \cdot 5 = 20$ centavos.

With no pennies, four coins are worth at least $4 \cdot 5 = 20$ cents

Solución:

Para obtener un múltiplo de $5$ centavos, el número de peniques debe ser múltiplo de $5.$ Con solo cuatro monedas, eso significa no usar peniques, pero entonces cada una de las cuatro monedas vale al menos $5$ centavos, para un total de al menos $20$ centavos.

Así que $15$ centavos no se pueden formar. Los demás sí: $25 = 10 + 3(5)$ , $35 = 3(10) + 5$ , $45 = 25 + 10 + 2(5)$ , y $55 = 25 + 3(10)$ .

Así, la respuesta correcta es A.

To get a multiple of $5$ cents, the number of pennies must be a multiple of $5.$ With only four coins, that means using no pennies, but then the four coins are each worth at least $5$ cents, for a total of at least $20$ cents.

So $15$ cents cannot be made. The others can: $25 = 10 + 3(5),$ $35 = 3(10) + 5,$ $45 = 25 + 10 + 2(5),$ and $55 = 25 + 3(10).$

Thus, the correct answer is A.

3.

¿Cuál de las siguientes opciones es igual a

$1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 1}}?$

Which of the following is equal to

$1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 1}}?$

$\dfrac{5}{4}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{5}{3}$

$2$

$3$

Conceptos:fracción continua fracción

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Simplifica desde la fracción más interna hacia afuera.

Simplify from the innermost fraction outward

Pista grande:

La expresión interna $1 + \dfrac{1}{1+1}$ es igual a $\dfrac{3}{2}$ .

The inner expression $1 + \dfrac{1}{1+1}$ equals $\dfrac{3}{2}$

Solución:

Trabajando de adentro hacia afuera, $\begin{aligned} &1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 1}} \\ &= 1 + \cfrac{1}{1 + \dfrac{1}{2}} \\ &= 1 + \dfrac{1}{\frac{3}{2}} \\ &= 1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}. \end{aligned}$

Así, la respuesta correcta es C.

Working outward, $\begin{aligned} &1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 1}} \\ &= 1 + \cfrac{1}{1 + \dfrac{1}{2}} \\ &= 1 + \dfrac{1}{\frac{3}{2}} \\ &= 1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

4.

Eric planea competir en un triatlón. Puede promediar $2$ millas por hora en la natación de $\tfrac14$ de milla y $6$ millas por hora en la carrera de $3$ millas. Su objetivo es terminar el triatlón en $2$ horas. Para lograr su objetivo, ¿cuál debe ser su velocidad promedio, en millas por hora, en el recorrido de $15$ millas en bicicleta?

Eric plans to compete in a triathlon. He can average $2$ miles per hour in the $\tfrac14$ -mile swim and $6$ miles per hour in the $3$ -mile run. His goal is to finish the triathlon in $2$ hours. To accomplish his goal what must his average speed, in miles per hour, be for the $15$ -mile bicycle ride?

$\dfrac{120}{11}$

$11$

$\dfrac{56}{5}$

$\dfrac{45}{4}$

$12$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo fracción

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Encuentra el tiempo usado por la natación y la carrera, luego réstalo de $2$ horas.

Find the time used by the swim and the run, then subtract from $2$ hours

Pista grande:

La velocidad es igual a $15$ millas dividido entre el tiempo restante.

Speed equals $15$ miles divided by the leftover time

Solución:

La natación toma $\dfrac{\frac{1}{4}}{2} = \dfrac18$ de hora y la carrera toma $\dfrac{3}{6} = \dfrac12$ de hora. Esto deja $2 - \dfrac18 - \dfrac12 = \dfrac{11}{8}$ horas para el recorrido en bicicleta.

Su velocidad promedio debe ser $\dfrac{15}{\frac{11}{8}} = \dfrac{120}{11}$ millas por hora.

Así, la respuesta correcta es A.

The swim takes $\dfrac{\frac{1}{4}}{2} = \dfrac18$ hour and the run takes $\dfrac{3}{6} = \dfrac12$ hour. This leaves $2 - \dfrac18 - \dfrac12 = \dfrac{11}{8}$ hours for the bicycle ride.

His average speed must be $\dfrac{15}{\frac{11}{8}} = \dfrac{120}{11}$ miles per hour.

Thus, the correct answer is A.

5.

¿Cuál es la suma de los dígitos del cuadrado de $111{,}111{,}111$ ?

What is the sum of the digits of the square of $111{,}111{,}111?$

$18$

$27$

$45$

$63$

$81$

Conceptos:dígitos palíndromo reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Intenta elevar al cuadrado los números más cortos formados solo por unos, $11,$ $111,$ $1111$ , para detectar un patrón.

Try squaring the shorter repunits $11,$ $111,$ $1111$ to spot a pattern

Pista grande:

El cuadrado del número de nueve dígitos formado solo por unos es $12345678987654321$ .

The square of the nine-digit repunit is $12345678987654321$

Solución:

El cuadrado del número de nueve dígitos formado solo por unos es el palíndromo $\begin{aligned} &111{,}111{,}111^2 \\ &= 12{,}345{,}678{,}987{,}654{,}321. \end{aligned}$

Sus dígitos son $1, 2, \ldots, 9, 8, \ldots, 1,$ así que la suma es $\begin{aligned} &2(1 + 2 + \cdots + 8) + 9 \\ &= 2 \cdot 36 + 9 = 81. \end{aligned}$

Así, la respuesta correcta es E.

The square of the nine-digit repunit is the palindrome $\begin{aligned} &111{,}111{,}111^2 \\ &= 12{,}345{,}678{,}987{,}654{,}321. \end{aligned}$

Its digits are $1, 2, \ldots, 9, 8, \ldots, 1,$ so the sum is $\begin{aligned} &2(1 + 2 + \cdots + 8) + 9 \\ &= 2 \cdot 36 + 9 = 81. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

6.

Un círculo de radio $2$ está inscrito en un semicírculo, como se muestra. El área dentro del semicírculo pero fuera del círculo está sombreada. ¿Qué fracción del área del semicírculo está sombreada?

A circle of radius $2$ is inscribed in a semicircle, as shown. The area inside the semicircle but outside the circle is shaded. What fraction of the semicircle’s area is shaded?

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\pi}{6}$

$\dfrac{2}{\pi}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{\pi}$

Conceptos:área del círculo circunferencias tangentes

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

El círculo se apoya en el diámetro y toca el arco, así que el semicírculo tiene radio $4$ .

The circle sits on the diameter and touches the arc, so the semicircle has radius $4$

Pista grande:

Compara el área del círculo con el área del semicírculo.

Compare the circle’s area to the semicircle’s area

Solución:

El círculo inscrito se apoya en el diámetro y es tangente al arco, así que el semicírculo tiene radio $4.$ Su área es $\dfrac12 \pi (4)^2 = 8\pi.$

El área del círculo es $\pi(2)^2 = 4\pi$ , así que el área sombreada es $8\pi - 4\pi = 4\pi$ .

La fracción sombreada es $\dfrac{4\pi}{8\pi} = \dfrac12$ .

Así, la respuesta correcta es A.

The inscribed circle rests on the diameter and is tangent to the arc, so the semicircle has radius $4.$ Its area is $\dfrac12 \pi (4)^2 = 8\pi.$

The circle’s area is $\pi(2)^2 = 4\pi,$ so the shaded area is $8\pi - 4\pi = 4\pi.$

The shaded fraction is $\dfrac{4\pi}{8\pi} = \dfrac12.$

Thus, the correct answer is A.

7.

Un cartón contiene leche que tiene $2\%$ de grasa, una cantidad que es $40\%$ menos grasa que la cantidad contenida en un cartón de leche entera. ¿Cuál es el porcentaje de grasa en la leche entera?

A carton contains milk that is $2\%$ fat, an amount that is $40\%$ less fat than the amount contained in a carton of whole milk. What is the percentage of fat in whole milk?

$\dfrac{12}{5}$

$3$

$\dfrac{10}{3}$

$38$

$42$

Conceptos:porcentaje ecuación lineal

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

$40\%$ menos que $x$ significa $60\%$ de $x$ .

$40\%$ less than $x$ means $60\%$ of $x$

Pista grande:

Resuelve $0.6x = 2$ .

Solve $0.6x = 2$

Solución:

Sea $x\%$ la grasa de la leche entera. Como $2$ es $40\%$ menos que $x,$ tenemos $0.6x = 2,$ así que $x = \dfrac{2}{0.6} = \dfrac{10}{3}.$

Así, la respuesta correcta es C.

Let whole milk be $x\%$ fat. Since $2$ is $40\%$ less than $x,$ we have $0.6x = 2,$ so $x = \dfrac{2}{0.6} = \dfrac{10}{3}.$

Thus, the correct answer is C.

8.

Tres generaciones de la familia Wen van al cine, dos de cada generación. Los dos miembros de la generación más joven reciben un descuento del $50\%$ como niños. Los dos miembros de la generación mayor reciben un descuento del $25\%$ como personas de la tercera edad. Los dos miembros de la generación intermedia no reciben descuento. El abuelo Wen, cuya entrada de tercera edad cuesta $\$6.00,$ paga por todos. ¿Cuántos dólares debe pagar?

Three generations of the Wen family are going to the movies, two from each generation. The two members of the youngest generation receive a $50\%$ discount as children. The two members of the oldest generation receive a $25\%$ discount as senior citizens. The two members of the middle generation receive no discount. Grandfather Wen, whose senior ticket costs $\$6.00,$ is paying for everyone. How many dollars must he pay?

$34$

$36$

$42$

$46$

$48$

Conceptos:porcentaje trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Una entrada de tercera edad es el $75\%$ del precio completo, así que primero encuentra el precio completo.

A senior ticket is $75\%$ of the full price, so find the full price first

Pista grande:

Suma dos entradas de tercera edad, dos completas y dos de niño.

Add two senior, two full, and two child tickets

Solución:

La entrada de tercera edad cuesta $\$6,$ que es $\dfrac34$ del precio completo, así que una entrada completa cuesta $\dfrac43 \cdot 6 = \$8,$ y una entrada de niño cuesta $\dfrac12 \cdot 8 = \$4.$

El total es $2(6 + 8 + 4) = \$36.$

Así, la respuesta correcta es B.

The senior ticket costs $\$6,$ which is $\dfrac34$ of the full price, so a full ticket costs $\dfrac43 \cdot 6 = \$8,$ and a child ticket costs $\dfrac12 \cdot 8 = \$4.$

The total is $2(6 + 8 + 4) = \$36.$

Thus, the correct answer is B.

9.

Los enteros positivos $a$ , $b$ y $2009$ satisfacen $a \lt b \lt 2009$ y, en ese orden, forman una sucesión geométrica con razón entera. ¿Cuánto vale $a$ ?

Positive integers $a,$ $b,$ and $2009,$ with $a \lt b \lt 2009,$ form a geometric sequence with an integer ratio. What is $a?$

$7$

$41$

$49$

$287$

$2009$

Conceptos:sucesión geométrica factorización en primos

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Si la razón es $r,$ entonces $a r^2 = 2009$ .

If the ratio is $r,$ then $a r^2 = 2009$

Pista grande:

Factoriza $2009 = 7^2 \cdot 41$ para encontrar la única razón entera mayor que $1$ .

Factor $2009 = 7^2 \cdot 41$ to find the only integer ratio greater than $1$

Solución:

Sea $r$ la razón común. Entonces $a r^2 = 2009 = 7^2 \cdot 41$ .

Como $r$ debe ser un entero mayor que $1$ , la única posibilidad es $r = 7$ , lo que da $a = 41$ y la sucesión $41, 287, 2009$ .

Así, la respuesta correcta es B.

Let the common ratio be $r.$ Then $a r^2 = 2009 = 7^2 \cdot 41.$

Since $r$ must be an integer greater than $1,$ the only possibility is $r = 7,$ giving $a = 41$ and the sequence $41, 287, 2009.$

Thus, the correct answer is B.

10.

El triángulo $ABC$ tiene un ángulo recto en $B.$ El punto $D$ es el pie de la altura desde $B,$ $AD = 3,$ y $DC = 4.$ ¿Cuál es el área de $\triangle ABC$ ?

Triangle $ABC$ has a right angle at $B.$ Point $D$ is the foot of the altitude from $B,$ $AD = 3,$ and $DC = 4.$ What is the area of $\triangle ABC?$

$4\sqrt{3}$

$7\sqrt{3}$

$21$

$14\sqrt{3}$

$42$

Conceptos:triángulo rectángulo altura área del triángulo

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

La altura sobre la hipotenusa cumple $BD^2 = AD \cdot DC$ .

The altitude to the hypotenuse satisfies $BD^2 = AD \cdot DC$

Pista grande:

La hipotenusa es $AC = AD + DC = 7$ .

The hypotenuse is $AC = AD + DC = 7$

Solución:

Para la altura desde el ángulo recto hacia la hipotenusa, $BD^2 = AD \cdot DC = 3 \cdot 4 = 12,$ así que $BD = 2\sqrt{3}$ .

La hipotenusa es $AC = 3 + 4 = 7,$ así que el área es $\dfrac12 \cdot 7 \cdot 2\sqrt3 = 7\sqrt3.$

Así, la respuesta correcta es B.

For the altitude from the right angle to the hypotenuse, $BD^2 = AD \cdot DC = 3 \cdot 4 = 12,$ so $BD = 2\sqrt{3}.$

The hypotenuse is $AC = 3 + 4 = 7,$ so the area is $\dfrac12 \cdot 7 \cdot 2\sqrt3 = 7\sqrt3.$

Thus, the correct answer is B.

11.

Una dimensión de un cubo se aumenta en $1,$ otra se disminuye en $1,$ y la tercera se deja sin cambios. El volumen del nuevo sólido rectangular es $5$ menos que el del cubo. ¿Cuál era el volumen del cubo?

One dimension of a cube is increased by $1,$ another is decreased by $1,$ and the third is left unchanged. The volume of the new rectangular solid is $5$ less than that of the cube. What was the volume of the cube?

$8$

$27$

$64$

$125$

$216$

Conceptos:diferencia de cuadrados volumen ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Sea $x$ el lado del cubo y escribe el nuevo volumen como $x(x+1)(x-1)$ .

Let the cube have side $x$ and write the new volume as $x(x+1)(x-1)$

Pista grande:

Nota que $x(x+1)(x-1) = x^3 - x$ .

Note that $x(x+1)(x-1) = x^3 - x$

Solución:

Sea $x$ la longitud del lado del cubo. El nuevo sólido tiene volumen $x(x+1)(x-1) = x^3 - x.$

Igualando esto a $x^3 - 5$ se obtiene $x^3 - x = x^3 - 5,$ así que $x = 5$ .

El volumen del cubo es $5^3 = 125$ .

Así, la respuesta correcta es D.

Let the cube have side length $x.$ The new solid has volume $x(x+1)(x-1) = x^3 - x.$

Setting this equal to $x^3 - 5$ gives $x^3 - x = x^3 - 5,$ so $x = 5.$

The cube’s volume is $5^3 = 125.$

Thus, the correct answer is D.

12.

En el cuadrilátero $ABCD,$ $AB = 5,$ $BC = 17,$ $CD = 5,$ $DA = 9,$ y $BD$ es un entero. ¿Cuánto vale $BD$ ?

In quadrilateral $ABCD,$ $AB = 5,$ $BC = 17,$ $CD = 5,$ $DA = 9,$ and $BD$ is an integer. What is $BD?$

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

Conceptos:desigualdad triangular acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Aplica la desigualdad triangular a $\triangle BCD$ y $\triangle ABD$ por separado.

Apply the triangle inequality to $\triangle BCD$ and $\triangle ABD$ separately

Pista grande:

La diagonal $BD$ debe cumplir $12 \lt BD \lt 14$ .

The diagonal $BD$ must satisfy $12 \lt BD \lt 14$

Solución:

En $\triangle BCD,$ la desigualdad triangular da $5 + BD \gt 17,$ así que $BD \gt 12$ .

En $\triangle ABD,$ da $5 + 9 \gt BD,$ así que $BD \lt 14$ .

El único entero con $12 \lt BD \lt 14$ es $BD = 13$ .

Así, la respuesta correcta es C.

In $\triangle BCD,$ the triangle inequality gives $5 + BD \gt 17,$ so $BD \gt 12.$

In $\triangle ABD,$ it gives $5 + 9 \gt BD,$ so $BD \lt 14.$

The only integer with $12 \lt BD \lt 14$ is $BD = 13.$

Thus, the correct answer is C.

13.

Supongamos que $P = 2^m$ y $Q = 3^n.$ ¿Cuál de las siguientes opciones es igual a $12^{mn}$ para todo par de enteros $(m, n)$ ?

Suppose that $P = 2^m$ and $Q = 3^n.$ Which of the following is equal to $12^{mn}$ for every pair of integers $(m, n)?$

$P^2 Q$

$P^n Q^m$

$P^n Q^{2m}$

$P^{2m} Q^n$

$P^{2n} Q^m$

Conceptos:exponente factorización en primos

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Escribe $12 = 2^2 \cdot 3$ y elévalo a la potencia $mn$ .

Write $12 = 2^2 \cdot 3$ and raise it to the power $mn$

Pista grande:

Reagrupa $2^{2mn} \cdot 3^{mn}$ usando $P = 2^m$ y $Q = 3^n$ .

Regroup $2^{2mn} \cdot 3^{mn}$ using $P = 2^m$ and $Q = 3^n$

Solución:

Como $12 = 2^2 \cdot 3$ , $\begin{aligned} 12^{mn} &= 2^{2mn} \cdot 3^{mn} \\ &= (2^m)^{2n} \cdot (3^n)^m \\ &= P^{2n} Q^m. \end{aligned}$

Así, la respuesta correcta es E.

Since $12 = 2^2 \cdot 3,$ $\begin{aligned} 12^{mn} &= 2^{2mn} \cdot 3^{mn} \\ &= (2^m)^{2n} \cdot (3^n)^m \\ &= P^{2n} Q^m. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

14.

Cuatro rectángulos congruentes se colocan como se muestra. El área del cuadrado exterior es $4$ veces la del cuadrado interior. ¿Cuál es la razón entre la longitud del lado más largo de cada rectángulo y la longitud de su lado más corto?

Four congruent rectangles are placed as shown. The area of the outer square is $4$ times that of the inner square. What is the ratio of the length of the longer side of each rectangle to the length of its shorter side?

$3$

$\sqrt{10}$

$2 + \sqrt{2}$

$2\sqrt{3}$

$4$

Conceptos:razón de áreas rectángulo ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Sea $x$ el lado más corto del rectángulo y $y$ el lado más largo, y expresa los lados de los dos cuadrados.

Let the rectangle have shorter side $x$ and longer side $y,$ and express the two square sides

Pista grande:

El cuadrado exterior tiene lado $y + x$ y el cuadrado interior tiene lado $y - x,$ con razón $\sqrt{4} = 2$ .

The outer square has side $y + x$ and the inner square has side $y - x,$ with ratio $\sqrt{4} = 2$

Solución:

Sea $x$ el lado más corto y $y$ el lado más largo de cada rectángulo. El cuadrado exterior tiene lado $y + x$ y el cuadrado interior tiene lado $y - x$ .

Como la razón de áreas es $4,$ la razón de lados es $2,$ así que $y + x = 2(y - x),$ lo que da $y = 3x$ .

La razón entre el lado más largo y el más corto es $\dfrac{y}{x} = 3$ .

Así, la respuesta correcta es A.

Let each rectangle have shorter side $x$ and longer side $y.$ The outer square has side length $y + x$ and the inner square has side length $y - x.$

Since the area ratio is $4,$ the side ratio is $2,$ so $y + x = 2(y - x),$ which gives $y = 3x.$

The ratio of longer to shorter side is $\dfrac{y}{x} = 3.$

Thus, the correct answer is A.

15.

Las figuras $F_1,$ $F_2,$ $F_3,$ y $F_4$ mostradas son las primeras de una sucesión de figuras. Para $n \ge 3,$ $F_n$ se construye a partir de $F_{n-1}$ rodeándola con un cuadrado y colocando en cada lado del nuevo cuadrado un rombo más de los que $F_{n-1}$ tenía en cada lado de su cuadrado exterior. Por ejemplo, la figura $F_3$ tiene $13$ rombos. ¿Cuántos rombos hay en la figura $F_{20}$ ?

The figures $F_1,$ $F_2,$ $F_3,$ and $F_4$ shown are the first in a sequence of figures. For $n \ge 3,$ $F_n$ is constructed from $F_{n-1}$ by surrounding it with a square and placing one more diamond on each side of the new square than $F_{n-1}$ had on each side of its outside square. For example, figure $F_3$ has $13$ diamonds. How many diamonds are there in figure $F_{20}?$

$401$

$485$

$585$

$626$

$761$

Conceptos:recursión sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

El cuadrado exterior de $F_n$ aporta $4(n-1)$ rombos nuevos.

The outside square of $F_n$ contributes $4(n-1)$ new diamonds

Pista grande:

El total es $1$ más $4\big(1 + 2 + \cdots + (n-1)\big)$ .

The total is $1$ plus $4\big(1 + 2 + \cdots + (n-1)\big)$

Solución:

Al pasar de $F_{n-1}$ a $F_n,$ el nuevo cuadrado exterior lleva $4(n-1)$ rombos. Partiendo del único rombo de $F_1,$ $\begin{aligned} F_n &= 1 \\ &\quad {}+ 4\big(1 + 2 + \cdots + (n-1)\big) \\ &= 1 + 4 \cdot \dfrac{(n-1)n}{2} \\ &= 1 + 2n(n-1). \end{aligned}$

Por lo tanto $F_{20} = 1 + 2 \cdot 20 \cdot 19 = 761.$

Así, la respuesta correcta es E.

Going from $F_{n-1}$ to $F_n,$ the new outside square carries $4(n-1)$ diamonds. Starting from the single diamond of $F_1,$ $\begin{aligned} F_n &= 1 \\ &\quad {}+ 4\big(1 + 2 + \cdots + (n-1)\big) \\ &= 1 + 4 \cdot \dfrac{(n-1)n}{2} \\ &= 1 + 2n(n-1). \end{aligned}$

Therefore $F_{20} = 1 + 2 \cdot 20 \cdot 19 = 761.$

Thus, the correct answer is E.

16.

Sean $a$ , $b$ , $c$ , $d$ números reales con $|a - b| = 2$ , $|b - c| = 3$ , $|c - d| = 4$ . ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $|a - d|$ ?

Let $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ be real numbers with $|a - b| = 2,$ $|b - c| = 3,$ and $|c - d| = 4.$ What is the sum of all possible values of $|a - d|?$

$9$

$12$

$15$

$18$

$24$

Conceptos:valor absoluto análisis por casos

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Escribe $a - d$ $= (a - b) + (b - c) + (c - d)$ $= \pm 2 \pm 3 \pm 4$ .

Write $a - d$ $= (a - b) + (b - c) + (c - d)$ $= \pm 2 \pm 3 \pm 4$

Pista grande:

Enumera los distintos valores de $|\pm 2 \pm 3 \pm 4|$ .

List the distinct values of $|\pm 2 \pm 3 \pm 4|$

Solución:

Como $a - d$ $= (a-b) + (b-c) + (c-d)$ $= \pm 2 \pm 3 \pm 4,$ los valores absolutos posibles son $\begin{aligned} 2+3+4 &= 9, \\ 2+3-4 &= 1, \\ 2-3+4 &= 3, \\ -2+3+4 &= 5. \end{aligned}$

Su suma es $9 + 1 + 3 + 5 = 18$ .

Así, la respuesta correcta es D.

Since $a - d$ $= (a-b) + (b-c) + (c-d)$ $= \pm 2 \pm 3 \pm 4,$ the possible absolute values are $\begin{aligned} 2+3+4 &= 9, \\ 2+3-4 &= 1, \\ 2-3+4 &= 3, \\ -2+3+4 &= 5. \end{aligned}$

Their sum is $9 + 1 + 3 + 5 = 18.$

Thus, the correct answer is D.

17.

El rectángulo $ABCD$ tiene $AB = 4$ y $BC = 3.$ El segmento $EF$ se construye pasando por $B$ de modo que $EF \perp DB,$ y $A$ y $C$ están sobre $DE$ y $DF,$ respectivamente. ¿Cuánto vale $EF$ ?

Rectangle $ABCD$ has $AB = 4$ and $BC = 3.$ Segment $EF$ is constructed through $B$ so that $EF \perp DB,$ and $A$ and $C$ lie on $DE$ and $DF,$ respectively. What is $EF?$

$9$

$10$

$\dfrac{125}{12}$

$\dfrac{103}{9}$

$12$

Conceptos:semejanza triángulo rectángulo Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Primero encuentra $DB = \sqrt{4^2 + 3^2}$ .

First find $DB = \sqrt{4^2 + 3^2}$

Pista grande:

Los triángulos $EBA$ y $BFC$ son cada uno semejantes a $\triangle DBA,$ así que encuentra $EB$ y $BF$ a partir de las razones.

Triangles $EBA$ and $BFC$ are each similar to $\triangle DBA,$ so find $EB$ and $BF$ from ratios

Solución:

La diagonal es $DB = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ .

Los triángulos rectángulos $EBA,$ $DBC,$ y $BFC$ son todos semejantes a $\triangle DBA.$ A partir de $\triangle EBA,$ $\begin{aligned} \dfrac{EB}{AB} &= \dfrac{DB}{BC} \\ &\implies \dfrac{EB}{4} = \dfrac{5}{3} \\ &\implies EB = \dfrac{20}{3}. \end{aligned}$

A partir de $\triangle BFC,$ $\begin{aligned} \dfrac{BF}{BC} &= \dfrac{DB}{AB} \\ &\implies \dfrac{BF}{3} = \dfrac{5}{4} \\ &\implies BF = \dfrac{15}{4}. \end{aligned}$

Por lo tanto $\begin{aligned} EF &= EB + BF \\ &= \dfrac{20}{3} + \dfrac{15}{4} \\ &= \dfrac{125}{12}. \end{aligned}$

Así, la respuesta correcta es C.

The diagonal is $DB = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5.$

Right triangles $EBA,$ $DBC,$ and $BFC$ are all similar to $\triangle DBA.$ From $\triangle EBA,$ $\begin{aligned} \dfrac{EB}{AB} &= \dfrac{DB}{BC} \\ &\implies \dfrac{EB}{4} = \dfrac{5}{3} \\ &\implies EB = \dfrac{20}{3}. \end{aligned}$

From $\triangle BFC,$ $\begin{aligned} \dfrac{BF}{BC} &= \dfrac{DB}{AB} \\ &\implies \dfrac{BF}{3} = \dfrac{5}{4} \\ &\implies BF = \dfrac{15}{4}. \end{aligned}$

Therefore $\begin{aligned} EF &= EB + BF \\ &= \dfrac{20}{3} + \dfrac{15}{4} \\ &= \dfrac{125}{12}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

18.

En el Campamento de Verano Jefferson, $60\%$ de los niños juegan fútbol, $30\%$ de los niños nadan, y $40\%$ de los que juegan fútbol nadan. Redondeando al porcentaje entero más cercano, ¿qué porcentaje de los que no nadan juegan fútbol?

At Jefferson Summer Camp, $60\%$ of the children play soccer, $30\%$ of the children swim, and $40\%$ of the soccer players swim. To the nearest whole percent, what percent of the non-swimmers play soccer?

$30\%$

$40\%$

$49\%$

$51\%$

$70\%$

Conceptos:porcentaje Diagrama de Venn probabilidad condicional

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

Supón $100$ niños y cuenta los jugadores de fútbol que nadan.

Assume $100$ children and count soccer players who swim

Pista grande:

Encuentra cuántos de los $70$ que no nadan juegan fútbol.

Find how many of the $70$ non-swimmers play soccer

Solución:

Toma $100$ niños: $60$ juegan fútbol, y $40\%$ de ellos, es decir $24,$ también nadan. Así que $60 - 24 = 36$ jugadores de fútbol no nadan.

Hay $30$ nadadores y $70$ que no nadan, así que la fracción de los que no nadan que juegan fútbol es $\dfrac{36}{70} \approx 0.514 \approx 51\%.$

Así, la respuesta correcta es D.

Take $100$ children: $60$ play soccer, and $40\%$ of them, or $24,$ also swim. So $60 - 24 = 36$ soccer players do not swim.

There are $30$ swimmers and $70$ non-swimmers, so the fraction of non-swimmers who play soccer is $\dfrac{36}{70} \approx 0.514 \approx 51\%.$

Thus, the correct answer is D.

19.

El círculo $A$ tiene radio $100.$ El círculo $B$ tiene radio entero $r \lt 100$ y permanece tangente internamente al círculo $A$ mientras rueda una vez alrededor de la circunferencia del círculo $A.$ Los dos círculos tienen los mismos puntos de tangencia al inicio y al final del viaje del círculo $B$ . ¿Cuántos valores posibles puede tener $r$ ?

Circle $A$ has radius $100.$ Circle $B$ has an integer radius $r \lt 100$ and remains internally tangent to circle $A$ as it rolls once around the circumference of circle $A.$ The two circles have the same points of tangency at the beginning and end of circle $B$ ’s trip. How many possible values can $r$ have?

$4$

$8$

$9$

$50$

$90$

Conceptos:circunferencia divisibilidad conteo de factores

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Divide la circunferencia del círculo $A$ entre la del círculo $B$ para contar las vueltas.

Divide the circumference of circle $A$ by the circumference of circle $B$ to count the rolls

Pista grande:

Ese número es $\dfrac{100}{r},$ que debe ser un entero mayor que $1$ .

That number is $\dfrac{100}{r},$ which must be an integer greater than $1$

Solución:

Las circunferencias son $200\pi$ y $2\pi r,$ así que el punto de tangencia inicial regresa después de $\dfrac{200\pi}{2\pi r} = \dfrac{100}{r}$ vueltas.

Para que esto sea un entero mayor que $1,$ $r$ debe ser un divisor de $100$ menor que $100:$ a saber $1, 2, 4, 5, 10, 20, 25,$ y $50.$ Esos son $8$ valores.

Así, la respuesta correcta es B.

The circumferences are $200\pi$ and $2\pi r,$ so the initial point of tangency returns after $\dfrac{200\pi}{2\pi r} = \dfrac{100}{r}$ rolls.

For this to be an integer greater than $1,$ $r$ must be a divisor of $100$ less than $100:$ namely $1, 2, 4, 5, 10, 20, 25,$ and $50.$ That is $8$ values.

Thus, the correct answer is B.

20.

Andrea y Lauren están a $20$ kilómetros de distancia. Van en bicicleta una hacia la otra, con Andrea viajando tres veces más rápido que Lauren, y la distancia entre ellas disminuyendo a razón de $1$ kilómetro por minuto. Después de $5$ minutos, Andrea deja de pedalear por un pinchazo y espera a Lauren. ¿Después de cuántos minutos desde que empezaron a pedalear llega Lauren hasta Andrea?

Andrea and Lauren are $20$ kilometers apart. They bike toward one another with Andrea traveling three times as fast as Lauren, and the distance between them decreasing at a rate of $1$ kilometer per minute. After $5$ minutes, Andrea stops biking because of a flat tire and waits for Lauren. After how many minutes from the time they started to bike does Lauren reach Andrea?

$20$

$30$

$55$

$65$

$80$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo tasa

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Sea la velocidad de Lauren $r;$ entonces $r + 3r = 1$ kilómetro por minuto.

Let Lauren’s rate be $r;$ then $r + 3r = 1$ kilometer per minute

Pista grande:

Encuentra la distancia que queda después de $5$ minutos, luego el tiempo que le toma a Lauren recorrerla sola.

Find the distance left after $5$ minutes, then the time for Lauren to cover it alone

Solución:

Sea $r$ la velocidad de Lauren en km/min. Entonces $r + 3r = 1,$ así que $r = \dfrac14$ .

En los primeros $5$ minutos la separación se reduce en $5$ km, dejando $15$ km. Lauren recorre esto sola a $\dfrac14$ km/min, tomando $\dfrac{15}{\frac{1}{4}} = 60$ minutos.

El tiempo total es $5 + 60 = 65$ minutos.

Así, la respuesta correcta es D.

Let Lauren’s rate be $r$ km/min. Then $r + 3r = 1,$ so $r = \dfrac14.$

In the first $5$ minutes the gap shrinks by $5$ km, leaving $15$ km. Lauren covers this alone at $\dfrac14$ km/min, taking $\dfrac{15}{\frac{1}{4}} = 60$ minutes.

The total time is $5 + 60 = 65$ minutes.

Thus, the correct answer is D.

21.

Muchas catedrales góticas tienen ventanas con partes que contienen un anillo de círculos congruentes circunscritos por un círculo mayor. En la figura mostrada, el número de círculos menores es cuatro. ¿Cuál es la razón entre la suma de las áreas de los cuatro círculos menores y el área del círculo mayor?

Many Gothic cathedrals have windows with portions containing a ring of congruent circles that are circumscribed by a larger circle. In the figure shown, the number of smaller circles is four. What is the ratio of the sum of the areas of the four smaller circles to the area of the larger circle?

$3 - 2\sqrt{2}$

$2 - \sqrt{2}$

$4(3 - 2\sqrt{2})$

$\dfrac{1}{2}(3 - \sqrt{2})$

$2\sqrt{2} - 2$

Conceptos:circunferencias tangentes razón de áreas racionalización del denominador

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Supón que cada círculo pequeño tiene radio $1;$ sus centros forman un cuadrado de lado $2$ .

Let each small circle have radius $1;$ their centers form a square of side $2$

Pista grande:

El diámetro del círculo grande es la diagonal del cuadrado más dos radios pequeños.

The large circle’s diameter is the square’s diagonal plus two small radii

Solución:

Supongamos que cada círculo pequeño tiene radio $1.$ Sus centros forman un cuadrado de lado $2,$ cuya diagonal es $2\sqrt2$ .

El diámetro del círculo grande es $2 + 2\sqrt2,$ así que su radio es $1 + \sqrt2$ .

La razón buscada es $\begin{aligned} \dfrac{4 \cdot \pi (1)^2}{\pi (1 + \sqrt2)^2} &= \dfrac{4}{3 + 2\sqrt2} \\ &= 4(3 - 2\sqrt2). \end{aligned}$

Así, la respuesta correcta es C.

Let each small circle have radius $1.$ Their centers form a square of side $2,$ whose diagonal is $2\sqrt2.$

The large circle’s diameter is $2 + 2\sqrt2,$ so its radius is $1 + \sqrt2.$

The desired ratio is $\begin{aligned} \dfrac{4 \cdot \pi (1)^2}{\pi (1 + \sqrt2)^2} &= \dfrac{4}{3 + 2\sqrt2} \\ &= 4(3 - 2\sqrt2). \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

22.

Dos dados cúbicos tienen cada uno números removibles del $1$ al $6.$ Los doce números de los dos dados se retiran, se ponen en una bolsa, luego se sacan uno a uno y se vuelven a pegar al azar en las caras de los cubos, un número en cada cara. Después se lanzan los dados y se suman los números de las dos caras superiores. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea $7$ ?

Two cubical dice each have removable numbers $1$ through $6.$ The twelve numbers on the two dice are removed, put into a bag, then drawn one at a time and randomly reattached to the faces of the cubes, one number to each face. The dice are then rolled and the numbers on the two top faces are added. What is the probability that the sum is $7?$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{2}{11}$

$\dfrac{1}{5}$

Conceptos:dados (probabilidad)probabilidad básica simetría

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Todo el proceso equivale a elegir al azar dos de las doce fichas y sumarlas.

The whole process is equivalent to picking two of the twelve tiles at random and adding them

Pista grande:

Después de que la primera ficha muestra $N,$ cuenta cuántas de las $11$ fichas restantes son iguales a $7 - N$ .

After the first tile shows $N,$ count how many of the remaining $11$ tiles equal $7 - N$

Solución:

Pegar las fichas al azar y luego lanzar equivale a elegir al azar dos de los doce números y sumarlos.

Supongamos que la primera cara superior muestra $N.$ Para una suma de $7,$ la segunda debe ser $7 - N,$ y hay exactamente $2$ fichas iguales a $7 - N$ entre las $11$ restantes.

Así que la probabilidad es $\dfrac{2}{11}$ .

Así, la respuesta correcta es D.

Randomly attaching the tiles and then rolling is equivalent to choosing two of the twelve numbers at random and adding them.

Suppose the first top face shows $N.$ For a sum of $7,$ the second must be $7 - N,$ and there are exactly $2$ tiles equal to $7 - N$ among the remaining $11.$

So the probability is $\dfrac{2}{11}.$

Thus, the correct answer is D.

23.

El cuadrilátero convexo $ABCD$ satisface $AB = 9$ y $CD = 12.$ Las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $E,$ $AC = 14,$ y $\triangle AED$ y $\triangle BEC$ tienen áreas iguales. ¿Cuánto vale $AE$ ?

Convex quadrilateral $ABCD$ has $AB = 9$ and $CD = 12.$ Diagonals $AC$ and $BD$ intersect at $E,$ $AC = 14,$ and $\triangle AED$ and $\triangle BEC$ have equal areas. What is $AE?$

$\dfrac{9}{2}$

$\dfrac{50}{11}$

$\dfrac{21}{4}$

$\dfrac{17}{3}$

$6$

Conceptos:área del triángulo rectas paralelas semejanza

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Sumar $\triangle CED$ a cada triángulo de igual área muestra que $\triangle ACD$ y $\triangle BCD$ tienen áreas iguales.

Adding $\triangle CED$ to each equal-area triangle shows $\triangle ACD$ and $\triangle BCD$ have equal areas

Pista grande:

Las áreas iguales sobre la base común $CD$ obligan a $AB \parallel CD,$ haciendo que $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ .

Equal areas over the shared base $CD$ force $AB \parallel CD,$ making $\triangle ABE \sim \triangle CDE$

Solución:

Como $[AED] = [BEC],$ sumar $[CED]$ a ambos da $[ACD] = [BCD].$ Estos comparten la base $CD,$ así que $A$ y $B$ equidistan de la recta $CD,$ lo que significa $AB \parallel CD.$

Entonces $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ con razón $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34,$ así que $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac34$ .

Con $AE + EC = AC = 14,$ obtenemos $AE = \dfrac{3}{7} \cdot 14 = 6$ .

Así, la respuesta correcta es E.

Since $[AED] = [BEC],$ adding $[CED]$ to both gives $[ACD] = [BCD].$ These share base $CD,$ so $A$ and $B$ are equidistant from line $CD,$ meaning $AB \parallel CD.$

Then $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ with ratio $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34,$ so $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac34.$

With $AE + EC = AC = 14,$ we get $AE = \dfrac{3}{7} \cdot 14 = 6.$

Thus, the correct answer is E.

24.

Se eligen al azar tres vértices distintos de un cubo. ¿Cuál es la probabilidad de que el plano determinado por estos tres vértices contenga puntos dentro del cubo?

Three distinct vertices of a cube are chosen at random. What is the probability that the plane determined by these three vertices contains points inside the cube?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{4}{7}$

$\dfrac{5}{7}$

$\dfrac{3}{4}$

Conceptos:conteo complementario geometría del cubo combinaciones

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

El plano evita el interior exactamente cuando los tres vértices están en una misma cara.

The plane avoids the interior exactly when all three vertices lie on one face

Pista grande:

Cuenta las ternas en una misma cara y réstalas del total $\binom{8}{3}$ .

Count the same-face triples and subtract from the total $\binom{8}{3}$

Solución:

Tres vértices determinan un plano que atraviesa el interior a menos que los tres estén en una sola cara.

Cada una de las $6$ caras da $\binom{4}{3} = 4$ ternas, así que $6 \cdot 4 = 24$ ternas están en una cara de un total de $\binom{8}{3} = 56$ .

La probabilidad de alcanzar el interior es $1 - \dfrac{24}{56} = \dfrac{4}{7}.$

Así, la respuesta correcta es C.

Three vertices determine a plane that cuts through the interior unless all three lie on a single face.

Each of the $6$ faces gives $\binom{4}{3} = 4$ triples, so $6 \cdot 4 = 24$ triples lie on a face out of $\binom{8}{3} = 56$ total.

The probability of hitting the interior is $1 - \dfrac{24}{56} = \dfrac{4}{7}.$

Thus, the correct answer is C.

25.

Para $k \gt 0,$ sea $I_k = 10\ldots064,$ donde hay $k$ ceros entre el $1$ y el $6.$ Sea $N(k)$ el número de veces que aparece el factor $2$ en la factorización prima de $I_k.$ ¿Cuál es el valor máximo de $N(k)$ ?

For $k \gt 0,$ let $I_k = 10\ldots064,$ where there are $k$ zeros between the $1$ and the $6.$ Let $N(k)$ be the number of factors of $2$ in the prime factorization of $I_k.$ What is the maximum value of $N(k)?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Conceptos:factorización en primos suma y diferencia de cubos análisis por casos

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Escribe $I_k = 10^{k+2} + 64$ y luego factoriza como $2^{k+2} \cdot 5^{k+2} + 2^6$ .

Write $I_k = 10^{k+2} + 64$ , then factor as $2^{k+2} \cdot 5^{k+2} + 2^6$

Pista grande:

Compara las potencias de $2$ en los dos términos; el caso de empate $k = 4$ requiere factorizar $5^6 + 1$ .

Compare the powers of $2$ in the two terms; the tie case $k = 4$ needs factoring $5^6 + 1$

Solución:

Escribe $\begin{aligned} I_k &= 10^{k+2} + 64 \\ &= 2^{k+2} \cdot 5^{k+2} + 2^6. \end{aligned}$

Si $k \lt 4,$ el primer término tiene menos de $6$ factores $2,$ así que $N(k) = k + 2 \lt 6.$

Si $k \gt 4,$ el primer término tiene al menos $7$ factores $2$ mientras que el segundo tiene exactamente $6,$ así que su suma tiene exactamente $6:$ $N(k) = 6.$

Si $k = 4,$ entonces $I_4 = 2^6(5^6 + 1).$ Como $5^6 + 1$ $= (5^2 + 1)\big((5^2)^2 - 5^2 + 1\big)$ $= 26 \cdot 601,$ aporta exactamente un factor $2$ más. Así que $N(4) = 7.$

El valor máximo es $N(4) = 7.$

Así, la respuesta correcta es B.

Write $\begin{aligned} I_k &= 10^{k+2} + 64 \\ &= 2^{k+2} \cdot 5^{k+2} + 2^6. \end{aligned}$

If $k \lt 4,$ the first term has fewer than $6$ factors of $2,$ so $N(k) = k + 2 \lt 6.$

If $k \gt 4,$ the first term has at least $7$ factors of $2$ while the second has exactly $6,$ so their sum has exactly $6:$ $N(k) = 6.$

If $k = 4,$ then $I_4 = 2^6(5^6 + 1).$ Since $5^6 + 1$ $= (5^2 + 1)\big((5^2)^2 - 5^2 + 1\big)$ $= 26 \cdot 601,$ it contributes exactly one more factor of $2.$ Thus $N(4) = 7.$

The maximum value is $N(4) = 7.$

Thus, the correct answer is B.