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Soluciones del 2009 AMC 10A

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

Una lata contiene 1212 onzas de refresco. ¿Cuál es el número mínimo de latas necesarias para proporcionar un galón (128128 onzas) de refresco?
One can holds 1212 ounces of soda. What is the minimum number of cans needed to provide a gallon (128128 ounces) of soda?
77
88
99
1010
1111
Conceptos:divisibilidadestimación
Nivel de dificultad: 560
Pista pequeña:
Divide 128128 entre 1212.
Divide 128128 by 1212
Pista grande:
Una última lata parcialmente llena sigue contando como una lata entera.
A partly filled last can still counts as a whole can
Solución:
Como 12812=1023\dfrac{128}{12} = 10\dfrac{2}{3}, diez latas solo contienen 120120 onzas, lo cual no es suficiente.
Por lo tanto, se necesitan 1111 latas.
Así, la respuesta correcta es E.
Since 12812=1023,\dfrac{128}{12} = 10\dfrac{2}{3}, ten cans hold only 120120 ounces, which is not enough.
Therefore 1111 cans are needed.
Thus, the correct answer is E.

2.

Se sacan cuatro monedas de una alcancía que contiene una colección de peniques, monedas de cinco centavos, monedas de diez centavos y monedas de veinticinco centavos. ¿Cuál de las siguientes opciones no podría ser el valor total de las cuatro monedas, en centavos?
Four coins are picked out of a piggy bank that contains a collection of pennies, nickels, dimes, and quarters. Which of the following could not be the total value of the four coins, in cents?
1515
2525
3535
4545
5555
Conceptos:dinerodivisibilidadacotación a casos límite
Nivel de dificultad: 940
Pista pequeña:
Un total que es múltiplo de 55 obliga a que el número de peniques sea múltiplo de 55.
A total that is a multiple of 55 forces the number of pennies to be a multiple of 55
Pista grande:
Sin peniques, cuatro monedas valen al menos 4⋅5=204 \cdot 5 = 20 centavos.
With no pennies, four coins are worth at least 4⋅5=204 \cdot 5 = 20 cents
Solución:
Para obtener un múltiplo de 55 centavos, el número de peniques debe ser múltiplo de 5.5. Con solo cuatro monedas, eso significa no usar peniques, pero entonces cada una de las cuatro monedas vale al menos 55 centavos, para un total de al menos 2020 centavos.
Así que 1515 centavos no se pueden formar. Los demás sí: 25=10+3(5)25 = 10 + 3(5), 35=3(10)+535 = 3(10) + 5, 45=25+10+2(5)45 = 25 + 10 + 2(5), y 55=25+3(10)55 = 25 + 3(10).
Así, la respuesta correcta es A.
To get a multiple of 55 cents, the number of pennies must be a multiple of 5.5. With only four coins, that means using no pennies, but then the four coins are each worth at least 55 cents, for a total of at least 2020 cents.
So 1515 cents cannot be made. The others can: 25=10+3(5),25 = 10 + 3(5), 35=3(10)+5,35 = 3(10) + 5, 45=25+10+2(5),45 = 25 + 10 + 2(5), and 55=25+3(10).55 = 25 + 3(10).
Thus, the correct answer is A.

3.

¿Cuál de las siguientes opciones es igual a
1+11+11+1?1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 1}}?
Which of the following is equal to
1+11+11+1?1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 1}}?
54\dfrac{5}{4}
32\dfrac{3}{2}
53\dfrac{5}{3}
22
33
Conceptos:fracción continuafracción
Nivel de dificultad: 870
Pista pequeña:
Simplifica desde la fracción más interna hacia afuera.
Simplify from the innermost fraction outward
Pista grande:
La expresión interna 1+11+11 + \dfrac{1}{1+1} es igual a 32\dfrac{3}{2}.
The inner expression 1+11+11 + \dfrac{1}{1+1} equals 32\dfrac{3}{2}
Solución:
Trabajando de adentro hacia afuera, 1+11+11+1=1+11+12=1+132=1+23=53. \begin{aligned} &1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 1}} \\ &= 1 + \cfrac{1}{1 + \dfrac{1}{2}} \\ &= 1 + \dfrac{1}{\frac{3}{2}} \\ &= 1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}. \end{aligned}
Así, la respuesta correcta es C.
Working outward, 1+11+11+1=1+11+12=1+132=1+23=53. \begin{aligned} &1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 1}} \\ &= 1 + \cfrac{1}{1 + \dfrac{1}{2}} \\ &= 1 + \dfrac{1}{\frac{3}{2}} \\ &= 1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}. \end{aligned}
Thus, the correct answer is C.

4.

Eric planea competir en un triatlón. Puede promediar 22 millas por hora en la natación de 14\tfrac14 de milla y 66 millas por hora en la carrera de 33 millas. Su objetivo es terminar el triatlón en 22 horas. Para lograr su objetivo, ¿cuál debe ser su velocidad promedio, en millas por hora, en el recorrido de 1515 millas en bicicleta?
Eric plans to compete in a triathlon. He can average 22 miles per hour in the 14\tfrac14-mile swim and 66 miles per hour in the 33-mile run. His goal is to finish the triathlon in 22 hours. To accomplish his goal what must his average speed, in miles per hour, be for the 1515-mile bicycle ride?
12011\dfrac{120}{11}
1111
565\dfrac{56}{5}
454\dfrac{45}{4}
1212
Conceptos:distancia, velocidad y tiempofracción
Nivel de dificultad: 1030
Pista pequeña:
Encuentra el tiempo usado por la natación y la carrera, luego réstalo de 22 horas.
Find the time used by the swim and the run, then subtract from 22 hours
Pista grande:
La velocidad es igual a 1515 millas dividido entre el tiempo restante.
Speed equals 1515 miles divided by the leftover time
Solución:
La natación toma 142=18\dfrac{\frac{1}{4}}{2} = \dfrac18 de hora y la carrera toma 36=12\dfrac{3}{6} = \dfrac12 de hora. Esto deja 2−18−12=1182 - \dfrac18 - \dfrac12 = \dfrac{11}{8} horas para el recorrido en bicicleta.
Su velocidad promedio debe ser 15118=12011\dfrac{15}{\frac{11}{8}} = \dfrac{120}{11} millas por hora.
Así, la respuesta correcta es A.
The swim takes 142=18\dfrac{\frac{1}{4}}{2} = \dfrac18 hour and the run takes 36=12\dfrac{3}{6} = \dfrac12 hour. This leaves 2−18−12=1182 - \dfrac18 - \dfrac12 = \dfrac{11}{8} hours for the bicycle ride.
His average speed must be 15118=12011\dfrac{15}{\frac{11}{8}} = \dfrac{120}{11} miles per hour.
Thus, the correct answer is A.

5.

¿Cuál es la suma de los dígitos del cuadrado de 111,111,111111{,}111{,}111?
What is the sum of the digits of the square of 111,111,111?111{,}111{,}111?
1818
2727
4545
6363
8181
Conceptos:dígitospalíndromoreconocimiento de patrones
Nivel de dificultad: 1070
Pista pequeña:
Intenta elevar al cuadrado los números más cortos formados solo por unos, 11,11, 111,111, 11111111, para detectar un patrón.
Try squaring the shorter repunits 11,11, 111,111, 11111111 to spot a pattern
Pista grande:
El cuadrado del número de nueve dígitos formado solo por unos es 1234567898765432112345678987654321.
The square of the nine-digit repunit is 1234567898765432112345678987654321
Solución:
El cuadrado del número de nueve dígitos formado solo por unos es el palíndromo 111,111,1112=12,345,678,987,654,321. \begin{aligned} &111{,}111{,}111^2 \\ &= 12{,}345{,}678{,}987{,}654{,}321. \end{aligned}
Sus dígitos son 1,2,…,9,8,…,1,1, 2, \ldots, 9, 8, \ldots, 1, así que la suma es 2(1+2+⋯+8)+9=2⋅36+9=81. \begin{aligned} &2(1 + 2 + \cdots + 8) + 9 \\ &= 2 \cdot 36 + 9 = 81. \end{aligned}
Así, la respuesta correcta es E.
The square of the nine-digit repunit is the palindrome 111,111,1112=12,345,678,987,654,321. \begin{aligned} &111{,}111{,}111^2 \\ &= 12{,}345{,}678{,}987{,}654{,}321. \end{aligned}
Its digits are 1,2,…,9,8,…,1,1, 2, \ldots, 9, 8, \ldots, 1, so the sum is 2(1+2+⋯+8)+9=2⋅36+9=81. \begin{aligned} &2(1 + 2 + \cdots + 8) + 9 \\ &= 2 \cdot 36 + 9 = 81. \end{aligned}
Thus, the correct answer is E.

6.

Un círculo de radio 22 está inscrito en un semicírculo, como se muestra. El área dentro del semicírculo pero fuera del círculo está sombreada. ¿Qué fracción del área del semicírculo está sombreada?
A circle of radius 22 is inscribed in a semicircle, as shown. The area inside the semicircle but outside the circle is shaded. What fraction of the semicircle’s area is shaded?
12\dfrac{1}{2}
π6\dfrac{\pi}{6}
2π\dfrac{2}{\pi}
23\dfrac{2}{3}
3π\dfrac{3}{\pi}
Conceptos:área del círculocircunferencias tangentes
Nivel de dificultad: 1020
Pista pequeña:
El círculo se apoya en el diámetro y toca el arco, así que el semicírculo tiene radio 44.
The circle sits on the diameter and touches the arc, so the semicircle has radius 44
Pista grande:
Compara el área del círculo con el área del semicírculo.
Compare the circle’s area to the semicircle’s area
Solución:
El círculo inscrito se apoya en el diámetro y es tangente al arco, así que el semicírculo tiene radio 4.4. Su área es 12π(4)2=8π.\dfrac12 \pi (4)^2 = 8\pi.
El área del círculo es π(2)2=4π\pi(2)^2 = 4\pi, así que el área sombreada es 8π−4π=4π8\pi - 4\pi = 4\pi.
La fracción sombreada es 4π8π=12\dfrac{4\pi}{8\pi} = \dfrac12.
Así, la respuesta correcta es A.
The inscribed circle rests on the diameter and is tangent to the arc, so the semicircle has radius 4.4. Its area is 12π(4)2=8π.\dfrac12 \pi (4)^2 = 8\pi.
The circle’s area is π(2)2=4π,\pi(2)^2 = 4\pi, so the shaded area is 8π−4π=4π.8\pi - 4\pi = 4\pi.
The shaded fraction is 4π8π=12.\dfrac{4\pi}{8\pi} = \dfrac12.
Thus, the correct answer is A.

7.

Un cartón contiene leche que tiene 2%2\% de grasa, una cantidad que es 40%40\% menos grasa que la cantidad contenida en un cartón de leche entera. ¿Cuál es el porcentaje de grasa en la leche entera?
A carton contains milk that is 2%2\% fat, an amount that is 40%40\% less fat than the amount contained in a carton of whole milk. What is the percentage of fat in whole milk?
125\dfrac{12}{5}
33
103\dfrac{10}{3}
3838
4242
Conceptos:porcentajeecuación lineal
Nivel de dificultad: 960
Pista pequeña:
40%40\% menos que xx significa 60%60\% de xx.
40%40\% less than xx means 60%60\% of xx
Pista grande:
Resuelve 0.6x=20.6x = 2.
Solve 0.6x=20.6x = 2
Solución:
Sea x%x\% la grasa de la leche entera. Como 22 es 40%40\% menos que x,x, tenemos 0.6x=2,0.6x = 2, así que x=20.6=103.x = \dfrac{2}{0.6} = \dfrac{10}{3}.
Así, la respuesta correcta es C.
Let whole milk be x%x\% fat. Since 22 is 40%40\% less than x,x, we have 0.6x=2,0.6x = 2, so x=20.6=103.x = \dfrac{2}{0.6} = \dfrac{10}{3}.
Thus, the correct answer is C.

8.

Tres generaciones de la familia Wen van al cine, dos de cada generación. Los dos miembros de la generación más joven reciben un descuento del 50%50\% como niños. Los dos miembros de la generación mayor reciben un descuento del 25%25\% como personas de la tercera edad. Los dos miembros de la generación intermedia no reciben descuento. El abuelo Wen, cuya entrada de tercera edad cuesta $6.00,\$6.00, paga por todos. ¿Cuántos dólares debe pagar?
Three generations of the Wen family are going to the movies, two from each generation. The two members of the youngest generation receive a 50%50\% discount as children. The two members of the oldest generation receive a 25%25\% discount as senior citizens. The two members of the middle generation receive no discount. Grandfather Wen, whose senior ticket costs $6.00,\$6.00, is paying for everyone. How many dollars must he pay?
3434
3636
4242
4646
4848
Conceptos:porcentajetrabajar hacia atrás
Nivel de dificultad: 1060
Pista pequeña:
Una entrada de tercera edad es el 75%75\% del precio completo, así que primero encuentra el precio completo.
A senior ticket is 75%75\% of the full price, so find the full price first
Pista grande:
Suma dos entradas de tercera edad, dos completas y dos de niño.
Add two senior, two full, and two child tickets
Solución:
La entrada de tercera edad cuesta $6,\$6, que es 34\dfrac34 del precio completo, así que una entrada completa cuesta 43⋅6=$8,\dfrac43 \cdot 6 = \$8, y una entrada de niño cuesta 12⋅8=$4.\dfrac12 \cdot 8 = \$4.
El total es 2(6+8+4)=$36.2(6 + 8 + 4) = \$36.
Así, la respuesta correcta es B.
The senior ticket costs $6,\$6, which is 34\dfrac34 of the full price, so a full ticket costs 43⋅6=$8,\dfrac43 \cdot 6 = \$8, and a child ticket costs 12⋅8=$4.\dfrac12 \cdot 8 = \$4.
The total is 2(6+8+4)=$36.2(6 + 8 + 4) = \$36.
Thus, the correct answer is B.

9.

Los enteros positivos aa, bb y 20092009 satisfacen a<b<2009a \lt b \lt 2009 y, en ese orden, forman una sucesión geométrica con razón entera. ¿Cuánto vale aa?
Positive integers a,a, b,b, and 2009,2009, with a<b<2009,a \lt b \lt 2009, form a geometric sequence with an integer ratio. What is a?a?
77
4141
4949
287287
20092009
Conceptos:sucesión geométricafactorización en primos
Nivel de dificultad: 1240
Pista pequeña:
Si la razón es r,r, entonces ar2=2009a r^2 = 2009.
If the ratio is r,r, then ar2=2009a r^2 = 2009
Pista grande:
Factoriza 2009=72⋅412009 = 7^2 \cdot 41 para encontrar la única razón entera mayor que 11.
Factor 2009=72⋅412009 = 7^2 \cdot 41 to find the only integer ratio greater than 11
Solución:
Sea rr la razón común. Entonces ar2=2009=72⋅41a r^2 = 2009 = 7^2 \cdot 41.
Como rr debe ser un entero mayor que 11, la única posibilidad es r=7r = 7, lo que da a=41a = 41 y la sucesión 41,287,200941, 287, 2009.
Así, la respuesta correcta es B.
Let the common ratio be r.r. Then ar2=2009=72⋅41.a r^2 = 2009 = 7^2 \cdot 41.
Since rr must be an integer greater than 1,1, the only possibility is r=7,r = 7, giving a=41a = 41 and the sequence 41,287,2009.41, 287, 2009.
Thus, the correct answer is B.

10.

El triángulo ABCABC tiene un ángulo recto en B.B. El punto DD es el pie de la altura desde B,B, AD=3,AD = 3, y DC=4.DC = 4. ¿Cuál es el área de △ABC\triangle ABC?
Triangle ABCABC has a right angle at B.B. Point DD is the foot of the altitude from B,B, AD=3,AD = 3, and DC=4.DC = 4. What is the area of △ABC?\triangle ABC?
434\sqrt{3}
737\sqrt{3}
2121
14314\sqrt{3}
4242
Conceptos:triángulo rectánguloalturaárea del triángulo
Nivel de dificultad: 1240
Pista pequeña:
La altura sobre la hipotenusa cumple BD2=AD⋅DCBD^2 = AD \cdot DC.
The altitude to the hypotenuse satisfies BD2=AD⋅DCBD^2 = AD \cdot DC
Pista grande:
La hipotenusa es AC=AD+DC=7AC = AD + DC = 7.
The hypotenuse is AC=AD+DC=7AC = AD + DC = 7
Solución:
Para la altura desde el ángulo recto hacia la hipotenusa, BD2=AD⋅DC=3⋅4=12,BD^2 = AD \cdot DC = 3 \cdot 4 = 12, así que BD=23BD = 2\sqrt{3}.
La hipotenusa es AC=3+4=7,AC = 3 + 4 = 7, así que el área es 12⋅7⋅23=73.\dfrac12 \cdot 7 \cdot 2\sqrt3 = 7\sqrt3.
Así, la respuesta correcta es B.
For the altitude from the right angle to the hypotenuse, BD2=AD⋅DC=3⋅4=12,BD^2 = AD \cdot DC = 3 \cdot 4 = 12, so BD=23.BD = 2\sqrt{3}.
The hypotenuse is AC=3+4=7,AC = 3 + 4 = 7, so the area is 12⋅7⋅23=73.\dfrac12 \cdot 7 \cdot 2\sqrt3 = 7\sqrt3.
Thus, the correct answer is B.

11.

Una dimensión de un cubo se aumenta en 1,1, otra se disminuye en 1,1, y la tercera se deja sin cambios. El volumen del nuevo sólido rectangular es 55 menos que el del cubo. ¿Cuál era el volumen del cubo?
One dimension of a cube is increased by 1,1, another is decreased by 1,1, and the third is left unchanged. The volume of the new rectangular solid is 55 less than that of the cube. What was the volume of the cube?
88
2727
6464
125125
216216
Conceptos:diferencia de cuadradosvolumenecuación lineal
Nivel de dificultad: 1100
Pista pequeña:
Sea xx el lado del cubo y escribe el nuevo volumen como x(x+1)(x−1)x(x+1)(x-1).
Let the cube have side xx and write the new volume as x(x+1)(x−1)x(x+1)(x-1)
Pista grande:
Nota que x(x+1)(x−1)=x3−xx(x+1)(x-1) = x^3 - x.
Note that x(x+1)(x−1)=x3−xx(x+1)(x-1) = x^3 - x
Solución:
Sea xx la longitud del lado del cubo. El nuevo sólido tiene volumen x(x+1)(x−1)=x3−x.x(x+1)(x-1) = x^3 - x.
Igualando esto a x3−5x^3 - 5 se obtiene x3−x=x3−5,x^3 - x = x^3 - 5, así que x=5x = 5.
El volumen del cubo es 53=1255^3 = 125.
Así, la respuesta correcta es D.
Let the cube have side length x.x. The new solid has volume x(x+1)(x−1)=x3−x.x(x+1)(x-1) = x^3 - x.
Setting this equal to x3−5x^3 - 5 gives x3−x=x3−5,x^3 - x = x^3 - 5, so x=5.x = 5.
The cube’s volume is 53=125.5^3 = 125.
Thus, the correct answer is D.

12.

En el cuadrilátero ABCD,ABCD, AB=5,AB = 5, BC=17,BC = 17, CD=5,CD = 5, DA=9,DA = 9, y BDBD es un entero. ¿Cuánto vale BDBD?
In quadrilateral ABCD,ABCD, AB=5,AB = 5, BC=17,BC = 17, CD=5,CD = 5, DA=9,DA = 9, and BDBD is an integer. What is BD?BD?
1111
1212
1313
1414
1515
Conceptos:desigualdad triangularacotación a casos límite
Nivel de dificultad: 1220
Pista pequeña:
Aplica la desigualdad triangular a △BCD\triangle BCD y △ABD\triangle ABD por separado.
Apply the triangle inequality to △BCD\triangle BCD and △ABD\triangle ABD separately
Pista grande:
La diagonal BDBD debe cumplir 12<BD<1412 \lt BD \lt 14.
The diagonal BDBD must satisfy 12<BD<1412 \lt BD \lt 14
Solución:
En △BCD,\triangle BCD, la desigualdad triangular da 5+BD>17,5 + BD \gt 17, así que BD>12BD \gt 12.
En △ABD,\triangle ABD, da 5+9>BD,5 + 9 \gt BD, así que BD<14BD \lt 14.
El único entero con 12<BD<1412 \lt BD \lt 14 es BD=13BD = 13.
Así, la respuesta correcta es C.
In △BCD,\triangle BCD, the triangle inequality gives 5+BD>17,5 + BD \gt 17, so BD>12.BD \gt 12.
In △ABD,\triangle ABD, it gives 5+9>BD,5 + 9 \gt BD, so BD<14.BD \lt 14.
The only integer with 12<BD<1412 \lt BD \lt 14 is BD=13.BD = 13.
Thus, the correct answer is C.

13.

Supongamos que P=2mP = 2^m y Q=3n.Q = 3^n. ¿Cuál de las siguientes opciones es igual a 12mn12^{mn} para todo par de enteros (m,n)(m, n)?
Suppose that P=2mP = 2^m and Q=3n.Q = 3^n. Which of the following is equal to 12mn12^{mn} for every pair of integers (m,n)?(m, n)?
P2QP^2 Q
PnQmP^n Q^m
PnQ2mP^n Q^{2m}
P2mQnP^{2m} Q^n
P2nQmP^{2n} Q^m
Conceptos:exponentefactorización en primos
Nivel de dificultad: 1280
Pista pequeña:
Escribe 12=22⋅312 = 2^2 \cdot 3 y elévalo a la potencia mnmn.
Write 12=22⋅312 = 2^2 \cdot 3 and raise it to the power mnmn
Pista grande:
Reagrupa 22mn⋅3mn2^{2mn} \cdot 3^{mn} usando P=2mP = 2^m y Q=3nQ = 3^n.
Regroup 22mn⋅3mn2^{2mn} \cdot 3^{mn} using P=2mP = 2^m and Q=3nQ = 3^n
Solución:
Como 12=22⋅312 = 2^2 \cdot 3, 12mn=22mn⋅3mn=(2m)2n⋅(3n)m=P2nQm. \begin{aligned} 12^{mn} &= 2^{2mn} \cdot 3^{mn} \\ &= (2^m)^{2n} \cdot (3^n)^m \\ &= P^{2n} Q^m. \end{aligned}
Así, la respuesta correcta es E.
Since 12=22⋅3,12 = 2^2 \cdot 3, 12mn=22mn⋅3mn=(2m)2n⋅(3n)m=P2nQm. \begin{aligned} 12^{mn} &= 2^{2mn} \cdot 3^{mn} \\ &= (2^m)^{2n} \cdot (3^n)^m \\ &= P^{2n} Q^m. \end{aligned}
Thus, the correct answer is E.

14.

Cuatro rectángulos congruentes se colocan como se muestra. El área del cuadrado exterior es 44 veces la del cuadrado interior. ¿Cuál es la razón entre la longitud del lado más largo de cada rectángulo y la longitud de su lado más corto?
Four congruent rectangles are placed as shown. The area of the outer square is 44 times that of the inner square. What is the ratio of the length of the longer side of each rectangle to the length of its shorter side?
33
10\sqrt{10}
2+22 + \sqrt{2}
232\sqrt{3}
44
Conceptos:razón de áreasrectánguloecuación lineal
Nivel de dificultad: 1340
Pista pequeña:
Sea xx el lado más corto del rectángulo y yy el lado más largo, y expresa los lados de los dos cuadrados.
Let the rectangle have shorter side xx and longer side y,y, and express the two square sides
Pista grande:
El cuadrado exterior tiene lado y+xy + x y el cuadrado interior tiene lado y−x,y - x, con razón 4=2\sqrt{4} = 2.
The outer square has side y+xy + x and the inner square has side y−x,y - x, with ratio 4=2\sqrt{4} = 2
Solución:
Sea xx el lado más corto y yy el lado más largo de cada rectángulo. El cuadrado exterior tiene lado y+xy + x y el cuadrado interior tiene lado y−xy - x.
Como la razón de áreas es 4,4, la razón de lados es 2,2, así que y+x=2(y−x),y + x = 2(y - x), lo que da y=3xy = 3x.
La razón entre el lado más largo y el más corto es yx=3\dfrac{y}{x} = 3.
Así, la respuesta correcta es A.
Let each rectangle have shorter side xx and longer side y.y. The outer square has side length y+xy + x and the inner square has side length y−x.y - x.
Since the area ratio is 4,4, the side ratio is 2,2, so y+x=2(y−x),y + x = 2(y - x), which gives y=3x.y = 3x.
The ratio of longer to shorter side is yx=3.\dfrac{y}{x} = 3.
Thus, the correct answer is A.

15.

Las figuras F1,F_1, F2,F_2, F3,F_3, y F4F_4 mostradas son las primeras de una sucesión de figuras. Para n≥3,n \ge 3, FnF_n se construye a partir de Fn−1F_{n-1} rodeándola con un cuadrado y colocando en cada lado del nuevo cuadrado un rombo más de los que Fn−1F_{n-1} tenía en cada lado de su cuadrado exterior. Por ejemplo, la figura F3F_3 tiene 1313 rombos. ¿Cuántos rombos hay en la figura F20F_{20}?
The figures F1,F_1, F2,F_2, F3,F_3, and F4F_4 shown are the first in a sequence of figures. For n≥3,n \ge 3, FnF_n is constructed from Fn−1F_{n-1} by surrounding it with a square and placing one more diamond on each side of the new square than Fn−1F_{n-1} had on each side of its outside square. For example, figure F3F_3 has 1313 diamonds. How many diamonds are there in figure F20?F_{20}?
401401
485485
585585
626626
761761
Conceptos:recursiónsucesión aritméticasumatoria
Nivel de dificultad: 1400
Pista pequeña:
El cuadrado exterior de FnF_n aporta 4(n−1)4(n-1) rombos nuevos.
The outside square of FnF_n contributes 4(n−1)4(n-1) new diamonds
Pista grande:
El total es 11 más 4(1+2+⋯+(n−1))4\big(1 + 2 + \cdots + (n-1)\big).
The total is 11 plus 4(1+2+⋯+(n−1))4\big(1 + 2 + \cdots + (n-1)\big)
Solución:
Al pasar de Fn−1F_{n-1} a Fn,F_n, el nuevo cuadrado exterior lleva 4(n−1)4(n-1) rombos. Partiendo del único rombo de F1,F_1, Fn=1+4(1+2+⋯+(n−1))=1+4⋅(n−1)n2=1+2n(n−1). \begin{aligned} F_n &= 1 \\ &\quad {}+ 4\big(1 + 2 + \cdots + (n-1)\big) \\ &= 1 + 4 \cdot \dfrac{(n-1)n}{2} \\ &= 1 + 2n(n-1). \end{aligned}
Por lo tanto F20=1+2⋅20⋅19=761.F_{20} = 1 + 2 \cdot 20 \cdot 19 = 761.
Así, la respuesta correcta es E.
Going from Fn−1F_{n-1} to Fn,F_n, the new outside square carries 4(n−1)4(n-1) diamonds. Starting from the single diamond of F1,F_1, Fn=1+4(1+2+⋯+(n−1))=1+4⋅(n−1)n2=1+2n(n−1). \begin{aligned} F_n &= 1 \\ &\quad {}+ 4\big(1 + 2 + \cdots + (n-1)\big) \\ &= 1 + 4 \cdot \dfrac{(n-1)n}{2} \\ &= 1 + 2n(n-1). \end{aligned}
Therefore F20=1+2⋅20⋅19=761.F_{20} = 1 + 2 \cdot 20 \cdot 19 = 761.
Thus, the correct answer is E.

16.

Sean aa, bb, cc, dd números reales con ∣a−b∣=2|a - b| = 2, ∣b−c∣=3|b - c| = 3, ∣c−d∣=4|c - d| = 4. ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de ∣a−d∣|a - d|?
Let a,a, b,b, c,c, and dd be real numbers with ∣a−b∣=2,|a - b| = 2, ∣b−c∣=3,|b - c| = 3, and ∣c−d∣=4.|c - d| = 4. What is the sum of all possible values of ∣a−d∣?|a - d|?
99
1212
1515
1818
2424
Conceptos:valor absolutoanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1400
Pista pequeña:
Escribe a−da - d =(a−b)+(b−c)+(c−d)= (a - b) + (b - c) + (c - d) =±2±3±4= \pm 2 \pm 3 \pm 4.
Write a−da - d =(a−b)+(b−c)+(c−d)= (a - b) + (b - c) + (c - d) =±2±3±4= \pm 2 \pm 3 \pm 4
Pista grande:
Enumera los distintos valores de ∣±2±3±4∣|\pm 2 \pm 3 \pm 4|.
List the distinct values of ∣±2±3±4∣|\pm 2 \pm 3 \pm 4|
Solución:
Como a−da - d =(a−b)+(b−c)+(c−d)= (a-b) + (b-c) + (c-d) =±2±3±4,= \pm 2 \pm 3 \pm 4, los valores absolutos posibles son 2+3+4=9,2+3−4=1,2−3+4=3,−2+3+4=5. \begin{aligned} 2+3+4 &= 9, \\ 2+3-4 &= 1, \\ 2-3+4 &= 3, \\ -2+3+4 &= 5. \end{aligned}
Su suma es 9+1+3+5=189 + 1 + 3 + 5 = 18.
Así, la respuesta correcta es D.
Since a−da - d =(a−b)+(b−c)+(c−d)= (a-b) + (b-c) + (c-d) =±2±3±4,= \pm 2 \pm 3 \pm 4, the possible absolute values are 2+3+4=9,2+3−4=1,2−3+4=3,−2+3+4=5. \begin{aligned} 2+3+4 &= 9, \\ 2+3-4 &= 1, \\ 2-3+4 &= 3, \\ -2+3+4 &= 5. \end{aligned}
Their sum is 9+1+3+5=18.9 + 1 + 3 + 5 = 18.
Thus, the correct answer is D.

17.

El rectángulo ABCDABCD tiene AB=4AB = 4 y BC=3.BC = 3. El segmento EFEF se construye pasando por BB de modo que EF⊥DB,EF \perp DB, y AA y CC están sobre DEDE y DF,DF, respectivamente. ¿Cuánto vale EFEF?
Rectangle ABCDABCD has AB=4AB = 4 and BC=3.BC = 3. Segment EFEF is constructed through BB so that EF⊥DB,EF \perp DB, and AA and CC lie on DEDE and DF,DF, respectively. What is EF?EF?
99
1010
12512\dfrac{125}{12}
1039\dfrac{103}{9}
1212
Conceptos:semejanzatriángulo rectánguloTeorema de Pitágoras
Nivel de dificultad: 1580
Pista pequeña:
Primero encuentra DB=42+32DB = \sqrt{4^2 + 3^2}.
First find DB=42+32DB = \sqrt{4^2 + 3^2}
Pista grande:
Los triángulos EBAEBA y BFCBFC son cada uno semejantes a △DBA,\triangle DBA, así que encuentra EBEB y BFBF a partir de las razones.
Triangles EBAEBA and BFCBFC are each similar to △DBA,\triangle DBA, so find EBEB and BFBF from ratios
Solución:
La diagonal es DB=42+32=5DB = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5.
Los triángulos rectángulos EBA,EBA, DBC,DBC, y BFCBFC son todos semejantes a △DBA.\triangle DBA. A partir de △EBA,\triangle EBA, EBAB=DBBC  ⟹  EB4=53  ⟹  EB=203. \begin{aligned} \dfrac{EB}{AB} &= \dfrac{DB}{BC} \\ &\implies \dfrac{EB}{4} = \dfrac{5}{3} \\ &\implies EB = \dfrac{20}{3}. \end{aligned}
A partir de △BFC,\triangle BFC, BFBC=DBAB  ⟹  BF3=54  ⟹  BF=154. \begin{aligned} \dfrac{BF}{BC} &= \dfrac{DB}{AB} \\ &\implies \dfrac{BF}{3} = \dfrac{5}{4} \\ &\implies BF = \dfrac{15}{4}. \end{aligned}
Por lo tanto EF=EB+BF=203+154=12512. \begin{aligned} EF &= EB + BF \\ &= \dfrac{20}{3} + \dfrac{15}{4} \\ &= \dfrac{125}{12}. \end{aligned}
Así, la respuesta correcta es C.
The diagonal is DB=42+32=5.DB = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5.
Right triangles EBA,EBA, DBC,DBC, and BFCBFC are all similar to △DBA.\triangle DBA. From △EBA,\triangle EBA, EBAB=DBBC  ⟹  EB4=53  ⟹  EB=203. \begin{aligned} \dfrac{EB}{AB} &= \dfrac{DB}{BC} \\ &\implies \dfrac{EB}{4} = \dfrac{5}{3} \\ &\implies EB = \dfrac{20}{3}. \end{aligned}
From △BFC,\triangle BFC, BFBC=DBAB  ⟹  BF3=54  ⟹  BF=154. \begin{aligned} \dfrac{BF}{BC} &= \dfrac{DB}{AB} \\ &\implies \dfrac{BF}{3} = \dfrac{5}{4} \\ &\implies BF = \dfrac{15}{4}. \end{aligned}
Therefore EF=EB+BF=203+154=12512. \begin{aligned} EF &= EB + BF \\ &= \dfrac{20}{3} + \dfrac{15}{4} \\ &= \dfrac{125}{12}. \end{aligned}
Thus, the correct answer is C.

18.

En el Campamento de Verano Jefferson, 60%60\% de los niños juegan fútbol, 30%30\% de los niños nadan, y 40%40\% de los que juegan fútbol nadan. Redondeando al porcentaje entero más cercano, ¿qué porcentaje de los que no nadan juegan fútbol?
At Jefferson Summer Camp, 60%60\% of the children play soccer, 30%30\% of the children swim, and 40%40\% of the soccer players swim. To the nearest whole percent, what percent of the non-swimmers play soccer?
30%30\%
40%40\%
49%49\%
51%51\%
70%70\%
Conceptos:porcentajeDiagrama de Vennprobabilidad condicional
Nivel de dificultad: 1460
Pista pequeña:
Supón 100100 niños y cuenta los jugadores de fútbol que nadan.
Assume 100100 children and count soccer players who swim
Pista grande:
Encuentra cuántos de los 7070 que no nadan juegan fútbol.
Find how many of the 7070 non-swimmers play soccer
Solución:
Toma 100100 niños: 6060 juegan fútbol, y 40%40\% de ellos, es decir 24,24, también nadan. Así que 60−24=3660 - 24 = 36 jugadores de fútbol no nadan.
Hay 3030 nadadores y 7070 que no nadan, así que la fracción de los que no nadan que juegan fútbol es 3670≈0.514≈51%.\dfrac{36}{70} \approx 0.514 \approx 51\%.
Así, la respuesta correcta es D.
Take 100100 children: 6060 play soccer, and 40%40\% of them, or 24,24, also swim. So 60−24=3660 - 24 = 36 soccer players do not swim.
There are 3030 swimmers and 7070 non-swimmers, so the fraction of non-swimmers who play soccer is 3670≈0.514≈51%.\dfrac{36}{70} \approx 0.514 \approx 51\%.
Thus, the correct answer is D.

19.

El círculo AA tiene radio 100.100. El círculo BB tiene radio entero r<100r \lt 100 y permanece tangente internamente al círculo AA mientras rueda una vez alrededor de la circunferencia del círculo A.A. Los dos círculos tienen los mismos puntos de tangencia al inicio y al final del viaje del círculo BB. ¿Cuántos valores posibles puede tener rr?
Circle AA has radius 100.100. Circle BB has an integer radius r<100r \lt 100 and remains internally tangent to circle AA as it rolls once around the circumference of circle A.A. The two circles have the same points of tangency at the beginning and end of circle BB’s trip. How many possible values can rr have?
44
88
99
5050
9090
Conceptos:circunferenciadivisibilidadconteo de factores
Nivel de dificultad: 1630
Pista pequeña:
Divide la circunferencia del círculo AA entre la del círculo BB para contar las vueltas.
Divide the circumference of circle AA by the circumference of circle BB to count the rolls
Pista grande:
Ese número es 100r,\dfrac{100}{r}, que debe ser un entero mayor que 11.
That number is 100r,\dfrac{100}{r}, which must be an integer greater than 11
Solución:
Las circunferencias son 200π200\pi y 2πr,2\pi r, así que el punto de tangencia inicial regresa después de 200π2πr=100r\dfrac{200\pi}{2\pi r} = \dfrac{100}{r} vueltas.
Para que esto sea un entero mayor que 1,1, rr debe ser un divisor de 100100 menor que 100:100: a saber 1,2,4,5,10,20,25,1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, y 50.50. Esos son 88 valores.
Así, la respuesta correcta es B.
The circumferences are 200π200\pi and 2πr,2\pi r, so the initial point of tangency returns after 200π2πr=100r\dfrac{200\pi}{2\pi r} = \dfrac{100}{r} rolls.
For this to be an integer greater than 1,1, rr must be a divisor of 100100 less than 100:100: namely 1,2,4,5,10,20,25,1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, and 50.50. That is 88 values.
Thus, the correct answer is B.

20.

Andrea y Lauren están a 2020 kilómetros de distancia. Van en bicicleta una hacia la otra, con Andrea viajando tres veces más rápido que Lauren, y la distancia entre ellas disminuyendo a razón de 11 kilómetro por minuto. Después de 55 minutos, Andrea deja de pedalear por un pinchazo y espera a Lauren. ¿Después de cuántos minutos desde que empezaron a pedalear llega Lauren hasta Andrea?
Andrea and Lauren are 2020 kilometers apart. They bike toward one another with Andrea traveling three times as fast as Lauren, and the distance between them decreasing at a rate of 11 kilometer per minute. After 55 minutes, Andrea stops biking because of a flat tire and waits for Lauren. After how many minutes from the time they started to bike does Lauren reach Andrea?
2020
3030
5555
6565
8080
Conceptos:distancia, velocidad y tiempotasa
Nivel de dificultad: 1510
Pista pequeña:
Sea la velocidad de Lauren r;r; entonces r+3r=1r + 3r = 1 kilómetro por minuto.
Let Lauren’s rate be r;r; then r+3r=1r + 3r = 1 kilometer per minute
Pista grande:
Encuentra la distancia que queda después de 55 minutos, luego el tiempo que le toma a Lauren recorrerla sola.
Find the distance left after 55 minutes, then the time for Lauren to cover it alone
Solución:
Sea rr la velocidad de Lauren en km/min. Entonces r+3r=1,r + 3r = 1, así que r=14r = \dfrac14.
En los primeros 55 minutos la separación se reduce en 55 km, dejando 1515 km. Lauren recorre esto sola a 14\dfrac14 km/min, tomando 1514=60\dfrac{15}{\frac{1}{4}} = 60 minutos.
El tiempo total es 5+60=655 + 60 = 65 minutos.
Así, la respuesta correcta es D.
Let Lauren’s rate be rr km/min. Then r+3r=1,r + 3r = 1, so r=14.r = \dfrac14.
In the first 55 minutes the gap shrinks by 55 km, leaving 1515 km. Lauren covers this alone at 14\dfrac14 km/min, taking 1514=60\dfrac{15}{\frac{1}{4}} = 60 minutes.
The total time is 5+60=655 + 60 = 65 minutes.
Thus, the correct answer is D.

21.

Muchas catedrales góticas tienen ventanas con partes que contienen un anillo de círculos congruentes circunscritos por un círculo mayor. En la figura mostrada, el número de círculos menores es cuatro. ¿Cuál es la razón entre la suma de las áreas de los cuatro círculos menores y el área del círculo mayor?
Many Gothic cathedrals have windows with portions containing a ring of congruent circles that are circumscribed by a larger circle. In the figure shown, the number of smaller circles is four. What is the ratio of the sum of the areas of the four smaller circles to the area of the larger circle?
3−223 - 2\sqrt{2}
2−22 - \sqrt{2}
4(3−22)4(3 - 2\sqrt{2})
12(3−2)\dfrac{1}{2}(3 - \sqrt{2})
22−22\sqrt{2} - 2
Conceptos:circunferencias tangentesrazón de áreasracionalización del denominador
Nivel de dificultad: 1690
Pista pequeña:
Supón que cada círculo pequeño tiene radio 1;1; sus centros forman un cuadrado de lado 22.
Let each small circle have radius 1;1; their centers form a square of side 22
Pista grande:
El diámetro del círculo grande es la diagonal del cuadrado más dos radios pequeños.
The large circle’s diameter is the square’s diagonal plus two small radii
Solución:
Supongamos que cada círculo pequeño tiene radio 1.1. Sus centros forman un cuadrado de lado 2,2, cuya diagonal es 222\sqrt2.
El diámetro del círculo grande es 2+22,2 + 2\sqrt2, así que su radio es 1+21 + \sqrt2.
La razón buscada es 4⋅π(1)2π(1+2)2=43+22=4(3−22). \begin{aligned} \dfrac{4 \cdot \pi (1)^2}{\pi (1 + \sqrt2)^2} &= \dfrac{4}{3 + 2\sqrt2} \\ &= 4(3 - 2\sqrt2). \end{aligned}
Así, la respuesta correcta es C.
Let each small circle have radius 1.1. Their centers form a square of side 2,2, whose diagonal is 22.2\sqrt2.
The large circle’s diameter is 2+22,2 + 2\sqrt2, so its radius is 1+2.1 + \sqrt2.
The desired ratio is 4⋅π(1)2π(1+2)2=43+22=4(3−22). \begin{aligned} \dfrac{4 \cdot \pi (1)^2}{\pi (1 + \sqrt2)^2} &= \dfrac{4}{3 + 2\sqrt2} \\ &= 4(3 - 2\sqrt2). \end{aligned}
Thus, the correct answer is C.

22.

Dos dados cúbicos tienen cada uno números removibles del 11 al 6.6. Los doce números de los dos dados se retiran, se ponen en una bolsa, luego se sacan uno a uno y se vuelven a pegar al azar en las caras de los cubos, un número en cada cara. Después se lanzan los dados y se suman los números de las dos caras superiores. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 77?
Two cubical dice each have removable numbers 11 through 6.6. The twelve numbers on the two dice are removed, put into a bag, then drawn one at a time and randomly reattached to the faces of the cubes, one number to each face. The dice are then rolled and the numbers on the two top faces are added. What is the probability that the sum is 7?7?
19\dfrac{1}{9}
18\dfrac{1}{8}
16\dfrac{1}{6}
211\dfrac{2}{11}
15\dfrac{1}{5}
Conceptos:dados (probabilidad)probabilidad básicasimetría
Nivel de dificultad: 1820
Pista pequeña:
Todo el proceso equivale a elegir al azar dos de las doce fichas y sumarlas.
The whole process is equivalent to picking two of the twelve tiles at random and adding them
Pista grande:
Después de que la primera ficha muestra N,N, cuenta cuántas de las 1111 fichas restantes son iguales a 7−N7 - N.
After the first tile shows N,N, count how many of the remaining 1111 tiles equal 7−N7 - N
Solución:
Pegar las fichas al azar y luego lanzar equivale a elegir al azar dos de los doce números y sumarlos.
Supongamos que la primera cara superior muestra N.N. Para una suma de 7,7, la segunda debe ser 7−N,7 - N, y hay exactamente 22 fichas iguales a 7−N7 - N entre las 1111 restantes.
Así que la probabilidad es 211\dfrac{2}{11}.
Así, la respuesta correcta es D.
Randomly attaching the tiles and then rolling is equivalent to choosing two of the twelve numbers at random and adding them.
Suppose the first top face shows N.N. For a sum of 7,7, the second must be 7−N,7 - N, and there are exactly 22 tiles equal to 7−N7 - N among the remaining 11.11.
So the probability is 211.\dfrac{2}{11}.
Thus, the correct answer is D.

23.

El cuadrilátero convexo ABCDABCD satisface AB=9AB = 9 y CD=12.CD = 12. Las diagonales ACAC y BDBD se cortan en E,E, AC=14,AC = 14, y △AED\triangle AED y △BEC\triangle BEC tienen áreas iguales. ¿Cuánto vale AEAE?
Convex quadrilateral ABCDABCD has AB=9AB = 9 and CD=12.CD = 12. Diagonals ACAC and BDBD intersect at E,E, AC=14,AC = 14, and △AED\triangle AED and △BEC\triangle BEC have equal areas. What is AE?AE?
92\dfrac{9}{2}
5011\dfrac{50}{11}
214\dfrac{21}{4}
173\dfrac{17}{3}
66
Conceptos:área del triángulorectas paralelassemejanza
Nivel de dificultad: 1690
Pista pequeña:
Sumar △CED\triangle CED a cada triángulo de igual área muestra que △ACD\triangle ACD y △BCD\triangle BCD tienen áreas iguales.
Adding △CED\triangle CED to each equal-area triangle shows △ACD\triangle ACD and △BCD\triangle BCD have equal areas
Pista grande:
Las áreas iguales sobre la base común CDCD obligan a AB∥CD,AB \parallel CD, haciendo que △ABE∼△CDE\triangle ABE \sim \triangle CDE.
Equal areas over the shared base CDCD force AB∥CD,AB \parallel CD, making △ABE∼△CDE\triangle ABE \sim \triangle CDE
Solución:
Como [AED]=[BEC],[AED] = [BEC], sumar [CED][CED] a ambos da [ACD]=[BCD].[ACD] = [BCD]. Estos comparten la base CD,CD, así que AA y BB equidistan de la recta CD,CD, lo que significa AB∥CD.AB \parallel CD.
Entonces △ABE∼△CDE\triangle ABE \sim \triangle CDE con razón ABCD=912=34,\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34, así que AEEC=34\dfrac{AE}{EC} = \dfrac34.
Con AE+EC=AC=14,AE + EC = AC = 14, obtenemos AE=37⋅14=6AE = \dfrac{3}{7} \cdot 14 = 6.
Así, la respuesta correcta es E.
Since [AED]=[BEC],[AED] = [BEC], adding [CED][CED] to both gives [ACD]=[BCD].[ACD] = [BCD]. These share base CD,CD, so AA and BB are equidistant from line CD,CD, meaning AB∥CD.AB \parallel CD.
Then △ABE∼△CDE\triangle ABE \sim \triangle CDE with ratio ABCD=912=34,\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34, so AEEC=34.\dfrac{AE}{EC} = \dfrac34.
With AE+EC=AC=14,AE + EC = AC = 14, we get AE=37⋅14=6.AE = \dfrac{3}{7} \cdot 14 = 6.
Thus, the correct answer is E.

24.

Se eligen al azar tres vértices distintos de un cubo. ¿Cuál es la probabilidad de que el plano determinado por estos tres vértices contenga puntos dentro del cubo?
Three distinct vertices of a cube are chosen at random. What is the probability that the plane determined by these three vertices contains points inside the cube?
14\dfrac{1}{4}
38\dfrac{3}{8}
47\dfrac{4}{7}
57\dfrac{5}{7}
34\dfrac{3}{4}
Conceptos:conteo complementariogeometría del cubocombinaciones
Nivel de dificultad: 1860
Pista pequeña:
El plano evita el interior exactamente cuando los tres vértices están en una misma cara.
The plane avoids the interior exactly when all three vertices lie on one face
Pista grande:
Cuenta las ternas en una misma cara y réstalas del total (83)\binom{8}{3}.
Count the same-face triples and subtract from the total (83)\binom{8}{3}
Solución:
Tres vértices determinan un plano que atraviesa el interior a menos que los tres estén en una sola cara.
Cada una de las 66 caras da (43)=4\binom{4}{3} = 4 ternas, así que 6⋅4=246 \cdot 4 = 24 ternas están en una cara de un total de (83)=56\binom{8}{3} = 56.
La probabilidad de alcanzar el interior es 1−2456=47.1 - \dfrac{24}{56} = \dfrac{4}{7}.
Así, la respuesta correcta es C.
Three vertices determine a plane that cuts through the interior unless all three lie on a single face.
Each of the 66 faces gives (43)=4\binom{4}{3} = 4 triples, so 6⋅4=246 \cdot 4 = 24 triples lie on a face out of (83)=56\binom{8}{3} = 56 total.
The probability of hitting the interior is 1−2456=47.1 - \dfrac{24}{56} = \dfrac{4}{7}.
Thus, the correct answer is C.

25.

Para k>0,k \gt 0, sea Ik=10…064,I_k = 10\ldots064, donde hay kk ceros entre el 11 y el 6.6. Sea N(k)N(k) el número de veces que aparece el factor 22 en la factorización prima de Ik.I_k. ¿Cuál es el valor máximo de N(k)N(k)?
For k>0,k \gt 0, let Ik=10…064,I_k = 10\ldots064, where there are kk zeros between the 11 and the 6.6. Let N(k)N(k) be the number of factors of 22 in the prime factorization of Ik.I_k. What is the maximum value of N(k)?N(k)?
66
77
88
99
1010
Conceptos:factorización en primossuma y diferencia de cubosanálisis por casos
Nivel de dificultad: 2160
Pista pequeña:
Escribe Ik=10k+2+64I_k = 10^{k+2} + 64 y luego factoriza como 2k+2⋅5k+2+262^{k+2} \cdot 5^{k+2} + 2^6.
Write Ik=10k+2+64I_k = 10^{k+2} + 64, then factor as 2k+2⋅5k+2+262^{k+2} \cdot 5^{k+2} + 2^6
Pista grande:
Compara las potencias de 22 en los dos términos; el caso de empate k=4k = 4 requiere factorizar 56+15^6 + 1.
Compare the powers of 22 in the two terms; the tie case k=4k = 4 needs factoring 56+15^6 + 1
Solución:
Escribe Ik=10k+2+64=2k+2⋅5k+2+26. \begin{aligned} I_k &= 10^{k+2} + 64 \\ &= 2^{k+2} \cdot 5^{k+2} + 2^6. \end{aligned}
Si k<4,k \lt 4, el primer término tiene menos de 66 factores 2,2, así que N(k)=k+2<6.N(k) = k + 2 \lt 6.
Si k>4,k \gt 4, el primer término tiene al menos 77 factores 22 mientras que el segundo tiene exactamente 6,6, así que su suma tiene exactamente 6:6: N(k)=6.N(k) = 6.
Si k=4,k = 4, entonces I4=26(56+1).I_4 = 2^6(5^6 + 1). Como 56+15^6 + 1 =(52+1)((52)2−52+1)= (5^2 + 1)\big((5^2)^2 - 5^2 + 1\big) =26⋅601,= 26 \cdot 601, aporta exactamente un factor 22 más. Así que N(4)=7.N(4) = 7.
El valor máximo es N(4)=7.N(4) = 7.
Así, la respuesta correcta es B.
Write Ik=10k+2+64=2k+2⋅5k+2+26. \begin{aligned} I_k &= 10^{k+2} + 64 \\ &= 2^{k+2} \cdot 5^{k+2} + 2^6. \end{aligned}
If k<4,k \lt 4, the first term has fewer than 66 factors of 2,2, so N(k)=k+2<6.N(k) = k + 2 \lt 6.
If k>4,k \gt 4, the first term has at least 77 factors of 22 while the second has exactly 6,6, so their sum has exactly 6:6: N(k)=6.N(k) = 6.
If k=4,k = 4, then I4=26(56+1).I_4 = 2^6(5^6 + 1). Since 56+15^6 + 1 =(52+1)((52)2−52+1)= (5^2 + 1)\big((5^2)^2 - 5^2 + 1\big) =26⋅601,= 26 \cdot 601, it contributes exactly one more factor of 2.2. Thus N(4)=7.N(4) = 7.
The maximum value is N(4)=7.N(4) = 7.
Thus, the correct answer is B.