Question

Un arreglo triangular de $2016$ monedas tiene $1$ moneda en la primera fila, $2$ monedas en la segunda fila, $3$ monedas en la tercera fila, y así sucesivamente hasta $N$ monedas en la fila $N$ . ¿Cuál es la suma de los dígitos de $N$ ?

A triangular array of $2016$ coins has $1$ coin in the first row, $2$ coins in the second row, $3$ coins in the third row, and so on up to $N$ coins in the $N$ th row. What is the sum of the digits of $N?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Solución:

Recuerda que la suma de los primeros $N$ números es $\dfrac{N(N + 1)}{2}$ .

Queremos hallar $N$ tal que $\dfrac{N(N + 1)}{2} = 2016.$ Multiplicando en cruz y simplificando obtenemos $N^2 + N - 4032 = 0.$ Factorizando obtenemos $(N - 63)(N + 64) = 0$ Queremos el valor positivo, así que $N = 63$ . Sumando los dígitos obtenemos $9$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Recall that the sum of the first $N$ number is $\dfrac{N(N + 1)}{2}.$

We want to find $N$ such that $\dfrac{N(N + 1)}{2} = 2016.$ Cross-multiplying and simplifying gives us $N^2 + N - 4032 = 0.$ Factoring gives us $(N - 63)(N + 64) = 0$ We want the positive value so $N = 63.$ Adding together the digits gives us $9.$

Thus, the correct answer is D .

2016 AMC 10A Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años