2007 AMC 10A Problema 9

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 9 del 2007 AMC 10A, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2007 AMC 10A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Nivel de dificultad: 1240

Los números reales $a$ y $b$ satisfacen las ecuaciones $3^a = 81^{b+2}$ y $125^b = 5^{a-3}.$ ¿Cuánto vale $ab$ ?

Real numbers $a$ and $b$ satisfy the equations $3^a = 81^{b+2}$ and $125^b = 5^{a-3}.$ What is $ab?$

$-60$

$-17$

$9$

$12$

$60$

Las ecuaciones se convierten en $3^a = 3^{4(b+2)}$ y $5^{3b} = 5^{a-3}.$

Así que $a = 4(b + 2)$ y $3b = a - 3.$

Al resolver se obtiene $a = -12$ y $b = -5,$ así que $ab = 60.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The equations become $3^a = 3^{4(b+2)}$ and $5^{3b} = 5^{a-3}.$

So $a = 4(b + 2)$ and $3b = a - 3.$

Solving gives $a = -12$ and $b = -5,$ so $ab = 60.$

Thus, the correct answer is E.