Question

La suma $\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\dots+\dfrac{2021}{2022!}$ se puede expresar como $a-\dfrac{1}{b!},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. ¿Cuánto vale $a+b$ ?

The sum $\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\dots+\dfrac{2021}{2022!}$ can be expressed as $a-\dfrac{1}{b!},$ where $a$ and $b$ are positive integers. What is $a+b?$

$\ 2020$

$\ 2021$

$\ 2022$

$\ 2023$

$\ 2024$

Solución:

Afirmamos que $\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\dots+\dfrac{n-1}{n!}$ $= 1- \dfrac 1{n!}.$

Para demostrarlo, podemos usar inducción.

Si $n=2,$ entonces la suma es $\dfrac 1{2!} = 1-\dfrac 1{2!} .$

Si se cumple para $n-1,$ entonces $\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\dots+\dfrac{n-1}{n!}$ $= 1- \dfrac 1{(n-1)!}+\dfrac{n-1}{n!}$ $= 1- \dfrac n{n!}+\dfrac{n-1}{n!} = 1 - \dfrac 1{n!}.$

Esto prueba nuestra fórmula, así que obtenemos la respuesta sustituyendo $n=2022.$ Nuestra respuesta es $1- \dfrac 1{2022!},$ lo que da $a=1,b=2022,$ y hace que nuestra respuesta sea $2023.$

Así, nuestra respuesta es D.

We claim $\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\dots+\dfrac{n-1}{n!}$ $= 1- \dfrac 1{n!}.$

To prove this, we can use induction.

If $n=2,$ then the sum is $\dfrac 1{2!} = 1-\dfrac 1{2!} .$

If it works for $n-1,$ then $\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\dots+\dfrac{n-1}{n!}$ $= 1- \dfrac 1{(n-1)!}+\dfrac{n-1}{n!}$ $= 1- \dfrac n{n!}+\dfrac{n-1}{n!} = 1 - \dfrac 1{n!}.$

This means our formula is proven, so we can get our answer by plugging in $n=2022.$ Our answer is $1- \dfrac 1{2022!},$ yielding $a=1,b=2022,$ making our answer $2023.$

Thus, our answer is D .

2022 AMC 10B Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años