Question

La suma $\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\cdots+\dfrac{2021}{2022!}$ se puede expresar como $a-\dfrac{1}{b!},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. ¿Cuánto vale $a+b$ ?

The sum $\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\cdots+\dfrac{2021}{2022!}$ can be expressed as $a-\dfrac{1}{b!},$ where $a$ and $b$ are positive integers. What is $a+b?$

$\ 2020$

$\ 2021$

$\ 2022$

$\ 2023$

$\ 2024$

Respuesta: D

Conceptos:telescópica factorial inducción

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Busca una diferencia que involucre recíprocos de factoriales consecutivos.

Look for a difference involving consecutive factorial reciprocals

Pista grande:

Reescribe cada término para que la suma sea telescópica.

Rewrite each term so the sum telescopes

Solución:

Cada término se cancela telescópicamente porque $\frac{k}{(k+1)!}=\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}.$ Al sumar, se cancelan todos los recíprocos factoriales intermedios y queda $1-\frac1{2022!}.$ Por tanto, $a=1, b=2022,$ y $a+b=2023.$

Así, la respuesta es D.

Each term telescopes because $\frac{k}{(k+1)!}=\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}.$ Summing makes every intermediate factorial reciprocal cancel, leaving $1-\frac1{2022!}.$ Hence $a=1, b=2022,$ and $a+b=2023.$

Thus, our answer is D .

2022 AMC 10B Problema 9

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años