Question

Considera los siguientes $100$ conjuntos de $10$ elementos cada uno: $\begin{align*} &\{1,2,3,\ldots,10\}, \\ &\{11,12,13,\ldots,20\},\\ &\{21,22,23,\ldots,30\},\\ &\vdots\\ &\{991,992,993,\ldots,1000\}. \end{align*}$ ¿Cuántos de estos conjuntos contienen exactamente dos múltiplos de $7$ ?

Consider the following $100$ sets of $10$ elements each: $\begin{align*} &\{1,2,3,\ldots,10\}, \\ &\{11,12,13,\ldots,20\},\\ &\{21,22,23,\ldots,30\},\\ &\vdots\\ &\{991,992,993,\ldots,1000\}. \end{align*}$ How many of these sets contain exactly two multiples of $7?$

$\ 40$

$\ 42$

$\ 43$

$\ 49$

$\ 50$

Solución:

Podemos analizar la cifra de las unidades del primer múltiplo de $7$ en cada conjunto.

Si la última cifra es $4,5,6,7,$ entonces al sumar $7$ se obtienen números fuera del conjunto, por lo que los conjuntos que tienen un múltiplo de $7$ cuya cifra de las unidades es $4,5,6,7$ tendrían un solo múltiplo.

Si la última cifra es $1,2,3$ entonces al sumar $7$ se obtiene una cifra de las unidades de $8,9,0$ en el mismo conjunto.

De los primeros $98$ conjuntos, hay un número igual de ocurrencias de conjuntos en los que el primer múltiplo de $7$ tiene cada una de las cifras de las unidades $1,2,3,4,5,6,7$ , ya que se repiten cada $7$ conjuntos. Estos dan $42$ conjuntos cuyo primer múltiplo de $7$ contiene dos múltiplos de $7$ .

El $99$ -ésimo y el $100$ -ésimo conjunto no funcionan, ya que dan un conjunto cuyos primeros múltiplos son $987$ y $994$ respectivamente, que no pueden tener $2$ múltiplos de $7$ . Esto significa que tenemos $42$ conjuntos que funcionan.

Así, la respuesta es B.

We can analyze the units digit of the first multiple of $7$ in each set.

If the last digit is $4,5,6,7,$ then adding $7$ yields numbers outside the set, so the sets with a multiple of $7$ such that its units digit is $4,5,6,7$ would have only one multiple.

If the last digit is $1,2,3$ then adding $7$ would yield a units digit of $8,9,0$ in the same set.

Out of the first $98$ sets, there are an equal number of occurrences of sets such that the first multiple of $7$ has each of the units digit of $1,2,3,4,5,6,7$ since they cycle every $7$ sets. These yield $42$ sets whose first multiple of $7$ contains two multiples of $7.$

The $99$ th and $100$ th set wouldn't work since they yield a set whose first multiples are $987$ and $994$ respectively, which can't have $2$ multiples of $7.$ This means we have $42$ sets that work.

Thus, the answer is B .

2022 AMC 10B Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años