Question

Un cuadrado de área $40$ está inscrito en un semicírculo como se muestra. ¿Cuál es el área del semicírculo?

A square of area $40$ is inscribed in a semicircle as shown. What is the area of the semicircle?

$20\pi$

$25\pi$

$30\pi$

$40\pi$

$50\pi$

Solución:

Sea el lado del cuadrado $s,$ de modo que $s^2=40.$ Su base queda centrada sobre el diámetro, y un vértice superior en $\left(\tfrac{s}{2},s\right)$ está sobre el círculo.

Entonces $r^2=\left(\tfrac{s}{2}\right)^2+s^2=\tfrac{40}{4}+40=50.$ El área del semicírculo es $\tfrac12\pi r^2=\tfrac12\pi(50)=25\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the square have side $s,$ so $s^2=40.$ Its base lies centered on the diameter, and a top corner at $\left(\tfrac{s}{2},s\right)$ lies on the circle.

Then $r^2=\left(\tfrac{s}{2}\right)^2+s^2=\tfrac{40}{4}+40=50.$ The semicircle area is $\tfrac12\pi r^2=\tfrac12\pi(50)=25\pi.$

Thus, the correct answer is B.

2006 AMC 10B Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años