Question

¿Cuál es la suma de todas las soluciones enteras de $1 < (x-2)^2 < 25$ ?

What is the sum of all integer solutions to $1 < (x-2)^2 < 25?$

$10$

$12$

$15$

$19$

$25$

Solución:

Si $x=2+k$ es una solución, entonces $x=2-k$ también lo es, ya que $((2+k)-2)^2 = ((2-k)-2)^2$ La suma de estas dos soluciones es $4$ . Por lo tanto, la suma de todas las soluciones enteras es cuatro veces la cantidad de valores positivos de $k$ que funcionan.

El valor positivo $k$ debe cumplir $1 < k^2 < 25,$ lo que da $3$ valores, a saber $k=2,3,4$ .

Por lo tanto, en total hay $4\cdot 3=12$ soluciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Suppose we have $x=2+k$ as a solution. Then, $x=2-k$ would also be a solution as $((2+k)-2)^2 = ((2-k)-2)^2$ The sum of these two solutions would be $4.$ Thus, the sum of all integer solutions to the above equation is four times the number of positive $k$ 's that work.

To find the number of $k$ 's, we need to find the number of positive solutions to: $1 < k^2 < 25,$ which would be $3,$ as $k=2,3,4.$

Therefore, there are a total of $4\cdot 3=12$ solutions.

Thus, the correct answer is B .

2012 AMC 10B Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años