Question

La figura de abajo muestra la recta $\ell$ con un patrón regular, infinito y recurrente de cuadrados y segmentos de recta.

Aparte de la transformación identidad, ¿cuántos de los siguientes cuatro tipos de transformaciones de movimiento rígido del plano en el que está dibujada esta figura la transformarán en sí misma?

• alguna rotación alrededor de un punto de la recta $\ell$

• alguna traslación en la dirección paralela a la recta $\ell$

• la reflexión a través de la recta $\ell$

• alguna reflexión a través de una recta perpendicular a la recta $\ell$

The figure below shows line $\ell$ with a regular, infinite, recurring pattern of squares and line segments.

How many of the following four kinds of rigid motion transformations of the plane in which this figure is drawn, other than the identity transformation, will transform this figure into itself?

• some rotation around a point of line $\ell$

• some translation in the direction parallel to line $\ell$

• the reflection across line $\ell$

• some reflection across a line perpendicular to line $\ell$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Solución:

La primera transformación funciona, pues podemos rotar $\ell$ en $180^{\circ}$ alrededor del punto medio entre un cuadrado que apunta hacia arriba y uno que apunta hacia abajo.

La segunda también funciona, pues basta con desplazar $\ell$ hacia la derecha hasta que los cuadrados vuelvan a alinearse.

La tercera falla, ya que una reflexión haría que los segmentos apuntaran en la dirección opuesta.

La cuarta transformación tampoco funciona, ya que las líneas diagonales volverían a apuntar en la dirección equivocada.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The first transformation works, as we can rotate $\ell$ $180^{\circ}$ around the midpoint between an upward-facing and downward-facing square.

The second also works, as we can just move $\ell$ to the right until the squares line up with each other again.

The third fails, as a reflection would cause the line segments to face the opposite direction.

The fourth transformation also doesn't work since the diagonal lines would again be facing in the wrong direction.

Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años