Soluciones del 2019 AMC 10A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión? $2^{\left(0^{\left(1^9\right)}\right)}+\left(\left(2^0\right)^1\right)^9?$

What is the value of $2^{\left(0^{\left(1^9\right)}\right)}+\left(\left(2^0\right)^1\right)^9?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:exponente orden de las operaciones

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Evalúa las torres de exponentes de arriba hacia abajo.

Evaluate exponent towers from the top down

Pista grande:

Recuerda que $0^1=0$ y $2^0=1$ .

Remember that $0^1=0$ and $2^0=1$

Solución:

Podemos evaluarlo así: $\begin{aligned} &2^{\left(0^{\left(1^9\right)}\right)}\\ &\quad+\left(\left(2^0\right)^1\right)^9\\ &=2^{0^1}+(1^1)^9\\ &=2^0+1^9\\ &=2. \end{aligned}$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We can evaluate from the top of each exponent tower downward: $\begin{aligned} &2^{\left(0^{\left(1^9\right)}\right)}\\ &\quad+\left(\left(2^0\right)^1\right)^9\\ &=2^{0^1}+(1^1)^9\\ &=2^0+1^9\\ &=2. \end{aligned}$

Thus, C is the correct answer.

2.

¿Cuál es la cifra de las centenas de $(20!-15!)$ ?

What is the hundreds digit of $(20!-15!)?$

$0$

$1$

$2$

$4$

$5$

Conceptos:factorial ceros finales divisibilidad

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Fíjate solo en la divisibilidad entre $1000$ .

Look only at divisibility by $1000$

Pista grande:

Ambos factoriales contienen al menos tres factores de $5$ y tres factores de $2$ .

Both factorials contain at least three factors of $5$ and three factors of $2$

Solución:

Tanto $20!$ como $15!$ contienen al menos tres factores de $5$ y tres factores de $2$ , así que ambos son divisibles entre $2^3\cdot5^3=1000.$

Su diferencia también es divisible entre $1000.$

Ser múltiplo de $1000$ hace que las últimas tres cifras sean $0,$ lo que muestra que la cifra de las centenas también es $0.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Both $20!$ and $15!$ contain at least three factors of $5$ and three factors of $2$ , so both are divisible by $2^3\cdot5^3=1000.$

Their difference is therefore also divisible by $1000.$

Being a multiple of $1000$ makes the last three digits $0,$ which shows that the hundreds digit is also $0.$

Thus, A is the correct answer.

3.

Ana y Bonita nacieron en la misma fecha pero en años distintos, con $n$ años de diferencia. El año pasado Ana tenía $5$ veces la edad de Bonita. Este año la edad de Ana es el cuadrado de la edad de Bonita. ¿Cuál es $n$ ?

Ana and Bonita were born on the same date in different years, $n$ years apart. Last year Ana was $5$ times as old as Bonita. This year Ana’s age is the square of Bonita’s age. What is $n?$

$3$

$5$

$9$

$12$

$15$

Conceptos:edades sistema de ecuaciones cuadrática

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Sea $b$ la edad actual de Bonita.

Let Bonita’s current age be $b$

Pista grande:

Usa juntas la relación del año pasado y la relación de cuadrado de este año.

Use last year’s relation and this year’s square relation together

Solución:

Sea $a$ la edad de Ana y $b$ la edad de Bonita. El enunciado nos da entonces que $\begin{aligned} a-1&=5(b-1),\\ a&=b^2. \end{aligned}$

Podemos sustituir la segunda ecuación en la primera para obtener $\begin{aligned} b^2-1&=5b-5,\\ b^2-5b+4&=0,\\ (b-4)(b-1)&=0. \end{aligned}$

Vemos que $b \neq 1$ , ya que eso haría que Ana y Bonita tuvieran la misma edad, así que sabemos que $b = 4.$

Esto nos da que $a = 4^2 = 16$ y $n = 16 - 4 = 12.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $a$ be Ana’s current age and $b$ be Bonita’s current age. Then $\begin{aligned} a-1&=5(b-1),\\ a&=b^2. \end{aligned}$

Substitution gives $\begin{aligned} b^2-1&=5b-5,\\ b^2-5b+4&=0,\\ (b-4)(b-1)&=0. \end{aligned}$

We can see that $b \neq 1$ since that would make Ana and Bonita the same age, so we know that $b = 4.$

This gives us that $a = 4^2 = 16$ and $n = 16 - 4 = 12.$

Thus, D is the correct answer.

4.

Una caja contiene $28$ bolas rojas, $20$ bolas verdes, $19$ bolas amarillas, $13$ bolas azules, $11$ bolas blancas y $9$ bolas negras. ¿Cuál es el número mínimo de bolas que se deben sacar de la caja sin reemplazo para garantizar que se saquen al menos $15$ bolas de un mismo color?

A box contains $28$ red balls, $20$ green balls, $19$ yellow balls, $13$ blue balls, $11$ white balls, and $9$ black balls. What is the minimum number of balls that must be drawn from the box without replacement to guarantee that at least $15$ balls of a single color will be drawn?

$75$

$76$

$79$

$84$

$91$

Conceptos:principio del palomar argumento extremal

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Para evitar obtener $15$ de un color, saca a lo sumo $14$ de cada color abundante.

To avoid getting $15$ of a color, draw at most $14$ from each large color

Pista grande:

Para los colores con menos de $15$ , se puede sacar todo ese color.

For colors with fewer than $15$ , all of that color can be drawn

Solución:

Observa que podemos sacar hasta $14$ bolas de cada color sin garantizar que se saquen $15$ bolas de un mismo color.

Esto significa que podemos sacar todas las bolas negras, blancas y azules, junto con $14$ bolas rojas, verdes y amarillas.

Esto nos da un total de $9 + 11 + 13 + 3 \cdot 14$ $= 33 + 42$ $= 75.$ Sin embargo, debemos sacar una más al final para asegurar esa $15$ a bola de algún color: $75 + 1 = 76.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Note that we can pull as many as $14$ balls of each color without ensuring that $15$ balls of one color are drawn.

This means that we can draw all of the black, white and blue balls, along with $14$ red, green, and yellow balls.

This gives us a total of $9 + 11 + 13 + 3 \cdot 14$ $= 33 + 42$ $= 75.$ We need to add one at the end, however, to ensure that we get that $15$ th ball of some color, $75 + 1 = 76.$

Thus, B is the correct answer.

5.

¿Cuál es la mayor cantidad de enteros consecutivos cuya suma es $45$ ?

What is the greatest number of consecutive integers whose sum is $45?$

$9$

$25$

$45$

$90$

$120$

Conceptos:sucesión aritmética argumento extremal

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Un bloque largo de enteros consecutivos puede centrarse alrededor de cero.

A long consecutive block can be centered around zero

Pista grande:

Usa la divisibilidad de $90$ entre el número de términos.

Use divisibility of $90$ by the number of terms

Solución:

Supongamos que hay $k$ enteros consecutivos con primer término $a$ . Su suma es $\dfrac{k(2a+k-1)}{2}=45$ , así que $k$ debe dividir a $90$ . Por lo tanto, el número de términos no puede exceder $90$ .

Esta cota se alcanza con $-44, -43, \cdots, 44, 45$ que tiene $90$ términos y suma $45$ .

Así, la mayor cantidad posible de enteros consecutivos es $90$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Suppose there are $k$ consecutive integers with first term $a.$ Their sum is $\dfrac{k(2a+k-1)}{2}=45,$ so $k$ must divide $90.$ Therefore the number of terms cannot exceed $90.$

This bound is attained by $-44, -43, \cdots, 44, 45$ which has $90$ terms and sum $45.$

Thus the greatest possible number of consecutive integers is $90.$

Thus, D is the correct answer.

6.

¿Para cuántos de los siguientes tipos de cuadriláteros existe un punto en el plano del cuadrilátero que sea equidistante de los cuatro vértices del cuadrilátero?

• un cuadrado

• un rectángulo que no es un cuadrado

• un rombo que no es un cuadrado

• un paralelogramo que no es un rectángulo ni un rombo

• un trapecio isósceles que no es un paralelogramo

For how many of the following types of quadrilaterals does there exist a point in the plane of the quadrilateral that is equidistant from all four vertices of the quadrilateral?

• a square

• a rectangle that is not a square

• a rhombus that is not a square

• a parallelogram that is not a rectangle or a rhombus

• an isosceles trapezoid that is not a parallelogram

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:cuadrilátero cíclico circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Ser equidistante de los cuatro vértices significa que el cuadrilátero es cíclico.

Equidistant from all four vertices means cyclic

Pista grande:

Para los cuadriláteros, comprueba si los ángulos opuestos pueden ser suplementarios.

For quadrilaterals, check whether opposite angles can be supplementary

Solución:

Observa que si un punto es equidistante de todos los vértices, entonces ese punto es el centro de la circunferencia circunscrita de la figura, y el cuadrilátero debe ser cíclico.

La pregunta se convierte entonces en cuáles de estas figuras son cíclicas (tienen circunferencia circunscrita). Una condición que podemos usar es que los ángulos opuestos sean suplementarios.

Claramente, un cuadrado y un rectángulo que no es cuadrado funcionan (los ángulos opuestos son rectos y suman $180^{\circ}$ ).

Un rombo que no es cuadrado no funciona, ya que los ángulos opuestos son iguales, pero no son $90^{\circ}.$

Un paralelogramo que no es rectángulo ni rombo enfrenta el mismo problema, por lo que tampoco es cíclico.

Un trapecio isósceles que no es paralelogramo tiene, por definición, ángulos opuestos suplementarios, por lo que es cíclico.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that if a point is equidistant from all the vertices, then that point is the center of the shape’s circumcircle.

The question then becomes which of these shapes is cyclic (has a circumcircle). One condition that we can use is that opposite angles are supplementary.

Clearly, a square and rectangle that is not a square work (opposite angles are right, adding up to $180^{\circ}$ ).

A rhombus that is not a square does not work, since opposite angles are equal, but they are not $90^{\circ}.$

A parallelogram that is not a rectangle or a rhombus faces the same problem as above, making it not cyclic as well.

An isosceles trapezoid that is not a parallelogram by definition has supplementary opposite angles, making it cyclic.

Thus, C is the correct answer.

7.

Dos rectas con pendientes $\frac{1}{2}$ y $2$ se cortan en $(2, 2).$ ¿Cuál es el área del triángulo encerrado por estas dos rectas y la recta $x + y = 10$ ?

Two lines with slopes $\frac{1}{2}$ and $2$ intersect at $(2, 2).$ What is the area of the triangle enclosed by these two lines and the line $x + y = 10?$

$4$

$4\sqrt{2}$

$6$

$8$

$6\sqrt{2}$

Conceptos:geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Halla las tres intersecciones por pares de las rectas.

Find all three pairwise intersections of the lines

Pista grande:

Usa la fórmula de la distancia o la del cordón de zapato para el triángulo resultante.

Use the distance or shoelace formula for the resulting triangle

Solución:

Las dos rectas que pasan por $(2,2)$ tienen ecuaciones $\begin{aligned} y&=\frac12x+1,\\ y&=2x-2. \end{aligned}$

Sus intersecciones con $x+y=10$ son $(6,4)$ y $(4,6)$ , respectivamente.

Así, los vértices son $(2,2),(6,4),$ y $(4,6)$ . El segmento que une los dos últimos puntos tiene longitud $2\sqrt2$ , su punto medio es $(5,5)$ , y la distancia de $(2,2)$ a ese punto medio es $3\sqrt2$ .

Por lo tanto, el área es $\frac12(2\sqrt2)(3\sqrt2)=6.$ Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The two lines through $(2,2)$ have equations $\begin{aligned} y&=\frac12x+1,\\ y&=2x-2. \end{aligned}$

Their intersections with $x+y=10$ are $(6,4)$ and $(4,6)$ , respectively.

Thus the vertices are $(2,2),(6,4),$ and $(4,6)$ . The segment joining the last two points has length $2\sqrt2$ , its midpoint is $(5,5)$ , and the distance from $(2,2)$ to that midpoint is $3\sqrt2$ .

The area is therefore $\frac12(2\sqrt2)(3\sqrt2)=6.$ Thus, C is the correct answer.

8.

La figura de abajo muestra la recta $\ell$ con un patrón regular, infinito y recurrente de cuadrados y segmentos de recta.

Aparte de la transformación identidad, ¿cuántos de los siguientes cuatro tipos de transformaciones de movimiento rígido del plano en el que está dibujada esta figura la transformarán en sí misma?

• alguna rotación alrededor de un punto de la recta $\ell$

• alguna traslación en la dirección paralela a la recta $\ell$

• la reflexión a través de la recta $\ell$

• alguna reflexión a través de una recta perpendicular a la recta $\ell$

The figure below shows line $\ell$ with a regular, infinite, recurring pattern of squares and line segments.

How many of the following four kinds of rigid motion transformations of the plane in which this figure is drawn, other than the identity transformation, will transform this figure into itself?

• some rotation around a point of line $\ell$

• some translation in the direction parallel to line $\ell$

• the reflection across line $\ell$

• some reflection across a line perpendicular to line $\ell$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:transformación simetría

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Las traslaciones a lo largo de $\ell$ preservan el patrón repetido.

Translations along $\ell$ preserve the repeating pattern

Pista grande:

Comprueba si las reflexiones invierten los segmentos inclinados.

Check whether reflections reverse the slanted segments

Solución:

La primera transformación funciona, pues podemos rotar $\ell$ en $180^{\circ}$ alrededor del punto medio entre un cuadrado que apunta hacia arriba y uno que apunta hacia abajo.

La segunda también funciona, pues basta con desplazar $\ell$ hacia la derecha hasta que los cuadrados vuelvan a alinearse.

La tercera falla, ya que una reflexión haría que los segmentos apuntaran en la dirección opuesta.

La cuarta transformación tampoco funciona, ya que las líneas diagonales volverían a apuntar en la dirección equivocada.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The first transformation works, as we can rotate $\ell$ $180^{\circ}$ around the midpoint between an upward-facing and downward-facing square.

The second also works, as we can just move $\ell$ to the right until the squares line up with each other again.

The third fails, as a reflection would cause the line segments to face the opposite direction.

The fourth transformation also doesn’t work since the diagonal lines would again be facing in the wrong direction.

Thus, C is the correct answer.

9.

¿Cuál es el mayor entero positivo de tres cifras $n$ para el cual la suma de los primeros $n$ enteros positivos no es un divisor del producto de los primeros $n$ enteros positivos?

What is the greatest three-digit positive integer $n$ for which the sum of the first $n$ positive integers is not a divisor of the product of the first $n$ positive integers?

$995$

$996$

$997$

$998$

$999$

Conceptos:factorial divisibilidad primo

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

La suma $1+2+\cdots+n$ es igual a $\frac{n(n+1)}{2}$ .

The sum $1+2+\cdots+n$ equals $\frac{n(n+1)}{2}$

Pista grande:

El obstáculo surge cuando $n+1$ aporta un nuevo factor primo.

The obstruction comes from when $n+1$ contributes a new prime factor

Solución:

La suma de los primeros $n$ números es $\dfrac{n(n + 1)}{2}.$ Necesitamos que esta cantidad no divida a $n!.$

Sea $m=n+1$ . Si $m$ es compuesto, escribimos $m=ab$ con $2\le a\le b$ . Si $a<b$ , los factores distintos $a$ y $b$ aparecen ambos en $(m-2)!=(n-1)!.$ Si $a=b$ , tenemos $a\ge3$ , y los dos múltiplos $a$ y $2a$ aparecen ambos en $(m-2)!$ , así que $a^2=m$ también divide ese factorial. Por tanto, $(n-1)!$ es divisible por $m,$ y en consecuencia $n! \text{ es divisible por } \frac{n(n+1)}2.$

Recíprocamente, si $n+1$ es primo, ese factor primo no aparece en $n!$ , así que la divisibilidad falla. Como $997$ es primo, mientras que $998,999,$ y $1000$ son compuestos, el mayor valor de tres cifras es $997-1=996.$

Por tanto, B es la respuesta correcta.

The sum of the first $n$ numbers is $\dfrac{n(n + 1)}{2}.$ We need this to not divide $n!.$

Put $m=n+1$ . If $m$ is composite, write $m=ab$ with $2\le a\le b$ . When $a<b$ , the distinct factors $a$ and $b$ both occur in $(m-2)!=(n-1)!$ . When $a=b$ , we have $a\ge3$ , and the two multiples $a$ and $2a$ both occur in $(m-2)!$ , so $a^2=m$ divides that factorial as well. Thus $(n-1)!$ is divisible by $m$ , and consequently $n! \text{ is divisible by } \frac{n(n+1)}2.$

Conversely, if $n+1$ is prime, that prime factor does not occur in $n!$ , so the divisibility fails. Since $997$ is prime while $998,999,$ and $1000$ are composite, the greatest three-digit value is $997-1=996.$

Thus, B is the correct answer.

10.

Un piso rectangular de $10$ pies de ancho y $17$ pies de largo está embaldosado con $170$ baldosas cuadradas de un pie de lado. Un insecto camina de una esquina a la esquina opuesta en línea recta. Incluyendo la primera y la última baldosa, ¿cuántas baldosas visita el insecto?

A rectangular floor that is $10$ feet wide and $17$ feet long is tiled with $170$ one-foot square tiles. A bug walks from one corner to the opposite corner in a straight line. Including the first and the last tile, how many tiles does the bug visit?

$17$

$25$

$26$

$27$

$28$

Conceptos:máximo común divisor conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Cuenta cada línea de la cuadrícula que cruza la diagonal.

Count every grid line the diagonal crosses

Pista grande:

Como $10$ y $17$ son primos entre sí, nunca pasa por una esquina interior de la cuadrícula.

Because $10$ and $17$ are relatively prime, it never passes through an interior grid corner

Solución:

Observa que cada vez que el insecto cruza una línea vertical u horizontal, visita una baldosa nueva.

Esto significa que el número de baldosas que visita el insecto es $1$ (la primera baldosa) más el número de líneas que cruza.

El insecto nunca pasa por una esquina, ya que $10$ y $17$ son primos entre sí, así que no tenemos que preocuparnos por eso.

El insecto cruza $16$ líneas horizontales y $9$ líneas verticales, para un total de $1 + 16 + 9 = 26$ baldosas.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that every time the bug crosses a vertical or horizontal line, the bug visits one new tile.

This means that the number of tiles the bug visits is $1$ (the first tile) plus the number of lines it crosses.

The bug never walks over a corner since $10$ and $17$ are relatively prime, so we don’t have to worry about that.

The bug crosses $16$ horizontal lines and $9$ vertical lines for a total of $1 + 16 + 9 = 26$ tiles.

Thus, C is the correct answer.

11.

¿Cuántos divisores enteros positivos de $201^9$ son cuadrados perfectos o cubos perfectos (o ambos)?

How many positive integer divisors of $201^9$ are perfect squares or perfect cubes (or both)?

$32$

$36$

$37$

$39$

$41$

Conceptos:factorización en primos potencia perfecta inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Factoriza $201$ primero.

Factor $201$ first

Pista grande:

Usa inclusión-exclusión sobre los exponentes de los divisores que son pares o múltiplos de $3$ .

Use inclusion-exclusion on divisor exponents that are even or multiples of $3$

Solución:

Tomando la factorización prima de $201^9,$ obtenemos $3^9 \cdot 67^9.$

Observa que un cuadrado perfecto tiene exponentes pares para sus factores primos, y los exponentes de un cubo son divisibles entre $3.$

Hay $5$ opciones para un exponente par, de $0$ a $8,$ y $4$ opciones para múltiplos de $3,$ de $0$ a $9.$

Esto nos da $5^2$ opciones para los cuadrados y $4^2$ opciones para los cubos. Sin embargo, tenemos que restar las sextas potencias.

Con la misma lógica, las sextas potencias deben tener exponentes de sus factores primos divisibles entre $6.$ Hay $2$ opciones, $0$ y $6.$

Esto significa que hay $2^2 = 4$ sextas potencias. Esto nos da un total de $25 + 16 - 4 = 37.$ cuadrados perfectos o cubos perfectos.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Taking the prime factorization of $201^9,$ we get $3^9 \cdot 67^9.$

Note that a perfect square has even exponents for its prime factors, and a cube’s exponents are divisible by $3.$

There are $5$ options for an even exponent, from $0$ through $8,$ and $4$ options for multiples of $3,$ from $0$ through $9.$

This gives us $5^2$ options for the squares and $4^2$ options for the cubes. We have to subtract out the sixth powers, however.

Using the same logic, sixth powers have to have exponents of prime factors be divisible by $6.$ There are $2$ options, $0$ and $6.$

This means that there are $2^2 = 4$ sixth powers. This gives us a total of $25 + 16 - 4 = 37.$ perfect squares or perfect cubes.

Thus, C is the correct answer.

12.

Melanie calcula la media $\mu,$ la mediana $M,$ y las modas de los $365$ valores que son las fechas de los meses de $2019.$ Así, sus datos constan de $12$ copias de $1,$ $12$ copias de $2,$ y así sucesivamente hasta $12$ copias de $28,$ seguidas de $11$ copias de $29,$ $11$ copias de $30,$ y $7$ copias de $31.$ Sea $d$ la mediana de las modas. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Melanie computes the mean $\mu,$ the median $M,$ and the modes of the $365$ values that are the dates in the months of $2019.$ Thus her data consist of $12$ copies of $1,$ $12$ copies of $2,$ and so on through $12$ copies of $28,$ then $11$ copies of $29,$ $11$ copies of $30,$ and $7$ copies of $31.$ Let $d$ be the median of the modes. Which of the following statements is true?

$\mu \lt d \lt M$

$M \lt d \lt \mu$

$d = M =\mu$

$d \lt M \lt \mu$

$d \lt \mu \lt M$

Conceptos:media mediana (datos)moda

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Entiende qué fechas aparecen $12$ veces y cuáles aparecen menos veces.

Understand which dates appear $12$ times and which appear fewer times

Pista grande:

Compara la media, la mediana y las modas a partir de los conteos del calendario.

Compare the mean, median, and modes from the calendar counts

Solución:

Las modas son todos los enteros del $1$ al $28,$ por lo que su mediana es $d=\dfrac{14+15}{2}=14.5.$

Hay $365$ entradas, así que $M$ es el $183$ o número. Las fechas del $1$ al $15$ ocupan $15 \cdot 12 = 180$ posiciones, por lo que $M=16.$

La suma de todas las fechas es $\begin{aligned}12(1+\cdots+28)&+11(29+30)\\&+7\cdot31=5738.\end{aligned}$ Por lo tanto, $\mu=\dfrac{5738}{365}\approx15.72.$

Por lo tanto, $d \lt \mu \lt M.$ Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The modes are all the integers from $1$ through $28,$ so their median is $d=\dfrac{14+15}{2}=14.5.$

There are $365$ entries, so $M$ is the $183$ rd number. The dates from $1$ through $15$ occupy $15 \cdot 12 = 180$ positions, so $M=16.$

The sum of all dates is $\begin{aligned}12(1+\cdots+28)&+11(29+30)\\&+7\cdot31=5738.\end{aligned}$ Hence $\mu=\dfrac{5738}{365}\approx15.72.$

Therefore $d \lt \mu \lt M.$ Thus, E is the correct answer.

13.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo isósceles con $BC = AC$ y $\angle ACB = 40^{\circ}.$ Construye la circunferencia de diámetro $\overline{BC},$ y sean $D$ y $E$ los otros puntos de intersección de la circunferencia con los lados $\overline{AC}$ y $\overline{AB},$ respectivamente. Sea $F$ la intersección de las diagonales del cuadrilátero $BCDE.$ ¿Cuál es la medida en grados de $\angle BFC$ ?

Let $\triangle ABC$ be an isosceles triangle with $BC = AC$ and $\angle ACB = 40^{\circ}.$ Construct the circle with diameter $\overline{BC},$ and let $D$ and $E$ be the other intersection points of the circle with the sides $\overline{AC}$ and $\overline{AB},$ respectively. Let $F$ be the intersection of the diagonals of the quadrilateral $BCDE.$ What is the degree measure of $\angle BFC ?$

$90$

$100$

$105$

$110$

$120$

Conceptos:ángulo inscrito persecución de ángulos triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Los ángulos que subtienden un diámetro son ángulos rectos.

Angles subtended by a diameter are right angles

Pista grande:

Usa los ángulos del triángulo isósceles $\triangle ABC$ para perseguir los ángulos restantes.

Use the isosceles angles of $\triangle ABC$ to chase the remaining angles

Solución:

Como $\overline{BC}$ es el diámetro de la circunferencia, $\angle BDC$ y $\angle BEC$ son ángulos rectos.

Sabemos que $\angle ABC = 70^{\circ}$ por el hecho de que $\triangle ABC$ es isósceles.

En $\triangle BCE$ y $\triangle BCD$ , respectivamente, $\begin{aligned} \angle ECB&=180^{\circ}-70^{\circ}-90^{\circ}\\ &=20^{\circ} \end{aligned}$ y $\begin{aligned} \angle DBC&=180^{\circ}-40^{\circ}-90^{\circ}\\ &=50^{\circ}. \end{aligned}$

Como $F$ está sobre $BD$ y $CE$ , los otros dos ángulos de $\triangle BFC$ miden $50^{\circ}$ y $20^{\circ}$ . Por consiguiente $\begin{aligned} \angle BFC&=180^{\circ}-50^{\circ}-20^{\circ}\\ &=110^{\circ}. \end{aligned}$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Since $\overline{BC}$ is the diameter of the circle, we get that $\angle BDC$ and $\angle BEC$ are right angles.

We know that $\angle ABC = 70^{\circ}$ from the fact that $\triangle ABC$ is isosceles.

In $\triangle BCE$ and $\triangle BCD$ , respectively, $\begin{aligned} \angle ECB&=180^{\circ}-70^{\circ}-90^{\circ}\\ &=20^{\circ} \end{aligned}$ and $\begin{aligned} \angle DBC&=180^{\circ}-40^{\circ}-90^{\circ}\\ &=50^{\circ}. \end{aligned}$

Because $F$ lies on $BD$ and $CE$ , the other two angles of $\triangle BFC$ are $50^{\circ}$ and $20^{\circ}$ . Hence $\begin{aligned} \angle BFC&=180^{\circ}-50^{\circ}-20^{\circ}\\ &=110^{\circ}. \end{aligned}$ Thus, D is the correct answer.

14.

Para un conjunto de cuatro rectas distintas en un plano, hay exactamente $N$ puntos distintos que están en dos o más de las rectas. ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $N$ ?

For a set of four distinct lines in a plane, there are exactly $N$ distinct points that lie on two or more of the lines. What is the sum of all possible values of $N?$

$14$

$16$

$18$

$19$

$21$

Conceptos:conteo de intersecciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Enumera las cantidades de intersecciones alcanzables para cuatro rectas.

List attainable intersection counts for four lines

Pista grande:

Luego, por separado, descarta exactamente dos puntos de intersección.

Then separately rule out exactly two intersection points

Solución:

Los valores $0,1,3,4,5,$ y $6$ son alcanzables. Cuatro rectas paralelas dan $0$ ; cuatro rectas concurrentes dan $1$ ; tres rectas paralelas cortadas por una cuarta dan $3$ ; tres rectas concurrentes más una cuarta que no pasa por ese punto dan $4$ ; tres rectas que forman un triángulo más una cuarta paralela a un lado dan $5$ ; y cuatro rectas en posición general dan $\binom42=6$ .

Queda descartar $2$ . Tomemos dos rectas no paralelas, que se cortan en $X$ . Si una tercera recta también pasa por $X$ , entonces una cuarta recta que no pase por $X$ corta al menos a dos de esas tres rectas concurrentes en dos puntos nuevos distintos; en caso contrario, las cuatro rectas pasan por $X$ y solo se obtiene un punto. Si la tercera recta no pasa por $X$ , entonces, para crear un único punto nuevo, debe ser paralela a una de las dos primeras rectas. Una cuarta recta distinta no puede pasar por ninguna de las intersecciones ya existentes sin cortar a esa recta paralela en un punto nuevo, y si no pasa por ninguna de ellas, crea de inmediato una nueva intersección. Así, tener exactamente dos puntos de intersección es imposible.

Así, los valores posibles son $0,1,3,4,5,6$ , cuya suma es $19$ . Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The values $0,1,3,4,5,$ and $6$ are attainable. Four parallel lines give $0$ , four concurrent lines give $1$ , three parallel lines cut by a fourth give $3$ , three concurrent lines plus a fourth not through that point give $4$ , three lines forming a triangle plus a fourth parallel to one side give $5$ , and four lines in general position give $\binom42=6$ .

It remains to rule out $2$ . Choose two nonparallel lines, meeting at $X$ . If a third line also passes through $X$ , then a fourth line not through $X$ intersects at least two of those three concurrent lines at two different new points; otherwise all four lines pass through $X$ , giving only one point. If the third line does not pass through $X$ , then to create only one new point it must be parallel to one of the first two lines. A fourth distinct line cannot pass through either existing intersection without meeting the parallel line at a new point, and if it passes through neither, it creates a new intersection immediately. Thus exactly two intersection points are impossible.

Thus the possible values are $0,1,3,4,5,6$ , whose sum is $19$ . Thus, D is the correct answer.

15.

Una sucesión de números se define recursivamente por $a_1 = 1,$ $a_2 = \frac{3}{7},$ y $a_n=\dfrac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2a_{n-2} - a_{n-1}}$ para todo $n \geq 3.$ Entonces $a_{2019}$ puede escribirse como $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $p+q$ ?

A sequence of numbers is defined recursively by $a_1 = 1,$ $a_2 = \frac{3}{7},$ and $a_n=\dfrac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2a_{n-2} - a_{n-1}}$ for all $n \geq 3.$ Then $a_{2019}$ can be written as $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. What is $p+q ?$

$2020$

$4039$

$6057$

$6061$

$8078$

Conceptos:recursión sucesión aritmética sustitución

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Toma los recíprocos de la recurrencia.

Take reciprocals of the recurrence

Pista grande:

La sucesión de recíprocos se vuelve aritmética.

The reciprocal sequence becomes arithmetic

Solución:

Tomando recíprocos en la fórmula recursiva se obtiene $\begin{aligned} \frac1{a_n} &=\frac{2a_{n-2}-a_{n-1}}{a_{n-2}a_{n-1}}\\ &=\frac2{a_{n-1}}-\frac1{a_{n-2}}. \end{aligned}$

Esto significa que $\dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n - 1}} = \dfrac{1}{a_{n - 1}} - \dfrac{1}{a_{n - 2}},$ lo que nos dice que $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ es una sucesión aritmética.

Usando $a_1$ y $a_2,$ obtenemos que la diferencia común es $\dfrac{1}{\frac{3}{7}} - \dfrac{1}{1} = \dfrac{7}{3} - 1 = \dfrac{4}{3}.$

Por lo tanto $\frac1{a_{2019}}=1+2018\cdot\frac43=\frac{8075}{3},$ así que $a_{2019}=\frac3{8075}.$

$p + q$ es, por lo tanto, $8075 + 3 = 8078.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Taking reciprocals in the recursive formula gives $\begin{aligned} \frac1{a_n} &=\frac{2a_{n-2}-a_{n-1}}{a_{n-2}a_{n-1}}\\ &=\frac2{a_{n-1}}-\frac1{a_{n-2}}. \end{aligned}$

This means that $\dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n - 1}} = \dfrac{1}{a_{n - 1}} - \dfrac{1}{a_{n - 2}},$ which tells us that $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ is an arithmetic sequence.

Using $a_1$ and $a_2,$ we get that the common difference is $\dfrac{1}{\frac{3}{7}} - \dfrac{1}{1} = \dfrac{7}{3} - 1 = \dfrac{4}{3}.$

Therefore $\frac1{a_{2019}}=1+2018\cdot\frac43=\frac{8075}{3},$ so $a_{2019}=\frac3{8075}.$

$p + q$ is therefore $8075 + 3 = 8078.$

Thus, E is the correct answer.

16.

La figura de abajo muestra $13$ círculos de radio $1$ dentro de un círculo más grande. Todas las intersecciones ocurren en puntos de tangencia. ¿Cuál es el área de la región sombreada en la figura, dentro del círculo grande pero fuera de todos los círculos de radio $1$ ?

The figure below shows $13$ circles of radius $1$ within a larger circle. All the intersections occur at points of tangency. What is the area of the region, shaded in the figure, inside the larger circle but outside all the circles of radius $1?$

$4 \pi \sqrt{3}$

$7 \pi$

$\pi\left(3\sqrt{3} +2\right)$

$10 \pi \left(\sqrt{3} - 1\right)$

$\pi\left(\sqrt{3} + 6\right)$

Conceptos:área del círculo triángulo equilátero circunferencias tangentes

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Conecta los centros de los círculos tangentes.

Connect centers of tangent circles

Pista grande:

El área sombreada es el área del círculo grande menos las áreas de los círculos pequeños.

The shaded area is the large circle area minus the areas of the small circles

Solución:

Sabemos que $\triangle ABC$ y $\triangle ABO$ son triángulos equiláteros.

Mediante triángulos rectángulos especiales para hallar las alturas, obtenemos $OC = 2\sqrt{3}$ .

Por tanto, el radio del círculo grande es $2\sqrt{3} + 1,$ pues hay un radio unitario adicional después de $\overline{OC}.$

El área del círculo grande es $(2\sqrt{3} + 1)^2\pi = (13 + 4\sqrt{3})\pi.$

El área de todos los círculos interiores es $13\pi.$

El área sombreada es $(13 + 4\sqrt{3})\pi - 13\pi = 4\pi\sqrt{3}.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

We know $\triangle ABC$ and $\triangle ABO$ are equilateral triangles.

We get that $OC = 2\sqrt{3}$ using special right triangles to find the altitudes of the triangles.

The radius of the larger circle is therefore $2\sqrt{3} + 1,$ since there is the extra unit radius after $\overline{OC}.$

The area of the larger circle is $(2\sqrt{3} + 1)^2\pi = (13 + 4\sqrt{3})\pi.$

The area of all the inner circles is $13\pi.$

The area of the shaded region is $(13 + 4\sqrt{3})\pi - 13\pi = 4\pi\sqrt{3}.$

Thus, A is the correct answer.

17.

Un niño construye torres usando cubos de forma idéntica pero de distintos colores. ¿Cuántas torres diferentes de altura $8$ cubos puede construir el niño con $2$ cubos rojos, $3$ cubos azules y $4$ cubos verdes? (Se dejará fuera un cubo.)

A child builds towers using identically shaped cubes of different colors. How many different towers with a height $8$ cubes can the child build with $2$ red cubes, $3$ blue cubes, and $4$ green cubes? (One cube will be left out.)

$24$

$288$

$312$

$1{,}260$

$40{,}320$

Conceptos:permutaciones de multiconjuntos biyección

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Cuenta todas las disposiciones de ocho cubos después de elegir el color omitido.

Count all arrangements of eight cubes after choosing the omitted color

Pista grande:

Corrige los colores repetidos con denominadores factoriales.

Correct for repeated colors with factorial denominators

Solución:

Dada una torre válida de altura $8$ , sus cantidades de colores determinan el único cubo no usado; coloquemos ese cubo encima. Recíprocamente, quitar el cubo superior de cualquier disposición de los $9$ cubos da una torre válida de altura $8$ . Estas dos operaciones son inversas entre sí, así que las torres buscadas están en correspondencia uno a uno con las disposiciones de los $9$ cubos.

Hay $9!$ maneras de hacer una torre de altura $9,$ pero estamos contando de más, ya que hay varios cubos del mismo color.

Tenemos que dividir entre las $2!$ maneras de ordenar los cubos rojos, $3!$ para los cubos azules y $4!$ para los cubos verdes.

Por lo tanto, el número de disposiciones válidas es $\dfrac{9!}{2! \cdot 3! \cdot 4!} = 1,260.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Given a valid height- $8$ tower, its color counts determine the one unused cube; place that cube on top. Conversely, removing the top cube from any arrangement of all $9$ cubes gives a valid height- $8$ tower. These operations are inverses, so the desired towers are in one-to-one correspondence with arrangements of all $9$ cubes.

There are $9!$ ways to make a tower of height $9,$ but we are overcounting since there are multiple cubes of the same color.

We have to divide through by $2!$ ways to arrange the red cubes, $3!$ for the blue cubes, and $4!$ for the green cubes.

Therefore, the number of valid arrangements is $\dfrac{9!}{2! \cdot 3! \cdot 4!} = 1,260.$

Thus, D is the correct answer.

18.

Para cierto entero positivo $k,$ la representación periódica en base $k$ de la fracción (en base diez) $\dfrac{7}{51}$ es $0.\overline{23}_k = 0.232323..._k.$ ¿Cuánto vale $k$ ?

For some positive integer $k,$ the repeating base- $k$ representation of the (base-ten) fraction $\dfrac{7}{51}$ is $0.\overline{23}_k = 0.232323..._k.$ What is $k?$

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Conceptos:base numérica decimal periódico sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Desarrolla $0.\overline{23}_k$ como una serie geométrica.

Expand $0.\overline{23}_k$ as a geometric series

Pista grande:

La razón común después de dos dígitos es $k^{-2}$ .

The common ratio after two digits is $k^{-2}$

Solución:

La fracción periódica en base $k$ es $2k^{-1}+3k^{-2}$ $+2k^{-3}+3k^{-4}+\cdots$ . Agrupando las potencias impares y pares se obtiene $\begin{aligned} &2(k^{-1}+k^{-3}+\cdots) \\ &\quad {}+3(k^{-2}+k^{-4}+\cdots). \end{aligned}$

Usando series geométricas, estas sumas son $\dfrac{2k}{k^2-1}$ y $\dfrac{3}{k^2-1}$ , así que $0.\overline{23}_k=\dfrac{2k+3}{k^2-1}$ .

Igualando $\dfrac{2k+3}{k^2-1}=\dfrac{7}{51}$ se obtiene $51(2k+3)=7(k^2-1)$ , de modo que $7k^2-102k-160=0$ . Por lo tanto, $k=16$ . Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The repeating base- $k$ fraction is $2k^{-1}+3k^{-2}$ $+2k^{-3}+3k^{-4}+\cdots$ . Grouping odd and even powers gives $\begin{aligned} &2(k^{-1}+k^{-3}+\cdots) \\ &\quad {}+3(k^{-2}+k^{-4}+\cdots). \end{aligned}$

Using geometric series, these sums are $\dfrac{2k}{k^2-1}$ and $\dfrac{3}{k^2-1}$ , so $0.\overline{23}_k=\dfrac{2k+3}{k^2-1}$ .

Setting $\dfrac{2k+3}{k^2-1}=\dfrac{7}{51}$ gives $51(2k+3)=7(k^2-1)$ , so $7k^2-102k-160=0$ . Hence $k=16$ . Thus, D is the correct answer.

19.

¿Cuál es el menor valor posible de $\begin{aligned} &(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)\\ &\quad+2019, \end{aligned}$ donde $x$ es un número real?

What is the least possible value of $\begin{aligned} &(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)\\ &\quad+2019, \end{aligned}$ where $x$ is a real number?

$2017$

$2018$

$2019$

$2020$

$2021$

Conceptos:diferencia de cuadrados optimización sustitución

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Empareja los factores simétricamente alrededor de $-\frac52$ .

Pair factors symmetrically around $-\frac52$

Pista grande:

Reescribe el cuártico usando $u=x^2+5x$ .

Rewrite the quartic using $u=x^2+5x$

Solución:

Multiplicando los dos primeros términos y los dos últimos se obtiene $(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6).$

Observa que estos dos términos difieren en $2.$ Podemos intentar expresarlo como una diferencia de cuadrados, que es $(x^2 + 5x + 5)^2 - 1.$

Sumando $2019$ a esto obtenemos $(x^2 + 5x + 5)^2 + 2018.$

Los cuadrados son no negativos, así que mientras encontremos una forma de hacer que la expresión interior sea $0,$ podemos hacer que el cuadrado sea $0.$

El discriminante es $5^2 - 4 \cdot 5 = 5,$ que es positivo, lo que significa que hay un valor que hace que el cuadrado sea $0.$

Esto significa que el valor mínimo sería $0^2 + 2018 = 2018.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Multiplying the first two terms and the last terms yields $(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6).$

Note that these two terms differ by $2.$ We can try to express this as a difference of squares, which is $(x^2 + 5x + 5)^2 - 1.$

Adding $2019$ to this gets us $(x^2 + 5x + 5)^2 + 2018.$

Squares are non-negative, so as long as we find a way to make the inner expression $0,$ we can make the square $0.$

The discriminant is $5^2 - 4 \cdot 5 = 5,$ which is positive meaning that there is a value that makes the square $0.$

This means that the minimum value would be $0^2 + 2018 = 2018.$ Thus, B is the correct answer.

20.

Los números $1,$ $2,$ $\dots,$ $9$ se colocan al azar en los $9$ cuadros de una cuadrícula $3 \times 3$ . Cada cuadro recibe un número y cada número se usa una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números en cada fila y cada columna sea impar?

The numbers $1,$ $2,$ $\dots,$ $9$ are randomly placed into the $9$ squares of a $3 \times 3$ grid. Each square gets one number, and each of the numbers is used once. What is the probability that the sum of the numbers in each row and each column is odd?

$\dfrac{1}{21}$

$\dfrac{1}{14}$

$\dfrac{5}{63}$

$\dfrac{2}{21}$

$\dfrac{1}{7}$

Conceptos:paridad probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Una suma impar de fila o columna tiene cero o dos entradas pares.

An odd row or column sum has either zero or two even entries

Pista grande:

Cuenta las colocaciones según dónde van los números pares.

Count placements by where the even numbers go

Solución:

Observa que la única forma de obtener una suma impar es que haya $0$ o $2$ números pares en la fila o columna.

La única forma de que esto ocurra es que los $4$ números pares formen un rectángulo con lados paralelos al cuadrado grande.

La manera de verlo es que elegimos un lugar para el primer número par. Luego necesitamos elegir otro cuadro en la misma fila, $x,$ y en la misma columna, $y,$ para que sean pares.

El último par debe estar en la misma columna que $x$ y en la misma fila que $y.$ Esto forma el rectángulo antes mencionado.

Hay cuatro rectángulos $2 \times 2$ , dos rectángulos $3 \times 2$ , dos rectángulos $2 \times 3$ y un rectángulo $3 \times 3$ .

Esto nos da un total de $4+2+2+1=9$ rectángulos, que son las disposiciones para los números pares.

Hay $4!$ maneras de ordenar los números pares y $5!$ maneras de ordenar los números impares.

Esto significa que hay un total de $9 \cdot 4! \cdot 5!$ configuraciones de cuadros que satisfacen la condición.

Hay un total de $9!$ disposiciones sin restricciones. Por lo tanto, la probabilidad es $\dfrac{9 \cdot 4! \cdot 5!}{9!} = \dfrac{1}{14}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Note that the only way to get an odd sum is if there are either $0$ or $2$ even numbers in the row or column.

The only way for this to happen is if the $4$ even numbers form a rectangle with sides parallel to the large square.

The way to see this is we choose a spot for the first even number. Then we need to choose another square in the same row, $x,$ and column, $y,$ to be even.

The final even has to be in same column as $x$ and the same row as $y.$ This forms the aforementioned rectangle.

There are four $2 \times 2$ rectangles, two $3 \times 2$ rectangles, two $2 \times 3$ rectangles, and one $3 \times 3$ rectangle.

This gives a total of $4+2+2+1=9$ possible sets of positions for the even numbers.

There are $4!$ ways to arrange the even numbers and $5!$ ways to arrange the odd numbers.

This means that there are a total of $9 \cdot 4! \cdot 5!$ configurations of squares that satisfy the condition.

There are a total of $9!$ arrangements with no restrictions. The probability is therefore $\dfrac{9 \cdot 4! \cdot 5!}{9!} = \dfrac{1}{14}.$

Thus, B is the correct answer.

21.

Una esfera con centro $O$ tiene radio $6.$ Un triángulo con lados de longitud $15,$ $15,$ y $24$ está situado en el espacio de modo que cada uno de sus lados es tangente a la esfera. ¿Cuál es la distancia entre $O$ y el plano determinado por el triángulo?

A sphere with center $O$ has radius $6.$ A triangle with sides of length $15,$ $15,$ and $24$ is situated in space so that each of its sides is tangent to the sphere. What is the distance between $O$ and the plane determined by the triangle?

$2\sqrt{3}$

$4$

$3\sqrt{2}$

$2\sqrt{5}$

$5$

Conceptos:esfera circunferencia inscrita, incentro e inradio Teorema de Pitágoras cometa

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Toma una sección transversal perpendicular al plano del triángulo.

Take a cross-section perpendicular to the triangle plane

Pista grande:

El inradio del triángulo controla la distancia tangente a la esfera.

The inradius of the triangle controls the tangent distance to the sphere

Solución:

La altura sobre el lado de longitud $24$ es $\sqrt{15^2-12^2}=9,$ así que el triángulo tiene área $\frac12\cdot24\cdot9=108$ y semiperímetro $27$ . Por tanto, su inradio es $r=\frac{108}{27}=4.$

Sea $P$ la proyección perpendicular de $O$ sobre el plano del triángulo, y sea $d=OP$ . Como las tres rectas de los lados son tangentes a la esfera, $P$ es el incentro y su distancia perpendicular a cada lado es $4$ . La distancia de $O$ a cada recta lateral es el radio de la esfera, $6$ , así que el teorema de Pitágoras da $d^2+4^2=6^2.$ Por tanto, $d=2\sqrt5.$

Así, D es la respuesta correcta.

The altitude to the side of length $24$ is $\sqrt{15^2-12^2}=9,$ so the triangle has area $\frac12\cdot24\cdot9=108$ and semiperimeter $27$ . Its inradius is therefore $r=\frac{108}{27}=4.$

Let $P$ be the perpendicular projection of $O$ onto the triangle’s plane, and let $d=OP$ . Because all three side-lines are tangent to the sphere, $P$ is the incenter and its perpendicular distance to each side is $4$ . The distance from $O$ to each side-line is the sphere’s radius, $6$ , so the Pythagorean theorem gives $d^2+4^2=6^2.$ Hence $d=2\sqrt5.$

Thus, D is the correct answer.

22.

Se eligen números reales entre $0$ y $1,$ inclusive, de la siguiente manera. Se lanza una moneda justa. Si sale cara, se lanza de nuevo y el número elegido es $0$ si el segundo lanzamiento es cara, y $1$ si el segundo lanzamiento es cruz. Por otro lado, si el primer lanzamiento es cruz, entonces el número se elige uniformemente al azar del intervalo cerrado $[0,1].$ Dos números aleatorios $x$ e $y$ se eligen de forma independiente de esta manera. ¿Cuál es la probabilidad de que $|x-y| > \tfrac{1}{2}$ ?

Real numbers between $0$ and $1,$ inclusive, are chosen in the following manner. A fair coin is flipped. If it lands heads, then it is flipped again and the chosen number is $0$ if the second flip is heads, and $1$ if the second flip is tails. On the other hand, if the first coin flip is tails, then the number is chosen uniformly at random from the closed interval $[0,1].$ Two random numbers $x$ and $y$ are chosen independently in this manner. What is the probability that $|x-y| > \tfrac{1}{2}?$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{2}{3}$

Conceptos:probabilidad geométrica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Divide en casos según si cada número es un extremo discreto o uniforme.

Split into cases depending on whether each number is endpoint-discrete or uniform

Pista grande:

Usa el área o la probabilidad para cada caso.

Use area or probability for each case

Solución:

Podemos separar en casos según si $x$ e $y$ se eligen del intervalo o de $0$ y $1.$ Cada caso tiene una probabilidad de $\frac{1}{4}$ de ocurrir, ya que dependen de dos lanzamientos de moneda.

Caso $1: x$ e $y$ son $0$ o $1$

$x$ e $y$ deben ser diferentes, lo que ocurre con probabilidad $\frac{1}{2}$ .

Caso $2: x$ es $0$ o $1,$ e $y$ se elige de $[0, 1]$

Si $x = 0,$ entonces $y$ debe elegirse de $\left(\dfrac{1}{2}, 1\right],$ y si $x = 1,$ entonces $y$ debe elegirse de $\left[0, \dfrac{1}{2}\right).$

Esto significa que $y$ siempre tiene una probabilidad de $\frac{1}{2}$ de ser elegido del intervalo correcto.

Caso $3: x$ se elige de $[0, 1],$ e $y$ es $0$ o $1$

Esto tiene la misma probabilidad que el caso $2$ por simetría.

Caso $4: x$ e $y$ se eligen de $[0, 1]$

Podemos usar probabilidad geométrica, ya que trabajamos con un número infinito de pares $(x, y)$ . Graficamos $|x - y| \gt \frac{1}{2}.$

El área sombreada cubre $\frac{1}{4}$ de la gráfica, lo que muestra que hay una probabilidad de $\frac{1}{4}$ de que este caso funcione.

Sumando todas las probabilidades, obtenemos $\frac14\left(\frac12+\frac12+\frac12+\frac14\right)=\frac7{16}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We can case on whether $x$ and $y$ are chosen from the interval or from $0$ and $1.$ Each case has a $\frac{1}{4}$ chance of happening, since they depend on two coin flips.

Case $1: x$ and $y$ are either $0$ or $1$

$x$ and $y$ need to be different, which happens with a $\frac{1}{2}$ probability.

Case $2: x$ is either $0$ or $1,$ and $y$ is chosen from $[0, 1]$

If $x = 0,$ then $y$ has to be chosen from $\left(\dfrac{1}{2}, 1\right],$ and if $x = 1,$ then $y$ has to be chosen from $\left[0, \dfrac{1}{2}\right).$

This means that $y$ always has a $\frac{1}{2}$ probability of being chosen from the correct interval.

Case $3: x$ is chosen from $[0, 1],$ and $y$ is either $0$ or $1$

This has the same probability as case $2$ due to symmetry.

Case $4: x$ and $y$ are chosen from $[0, 1]$

We can use geometric probability since we are working with an infinite number of $(x, y)$ pairs. We graph $|x - y| \gt \frac{1}{2}.$

The shaded area covers $\frac{1}{4}$ of the graph, showing that there is a $\frac{1}{4}$ probability of this case working.

Adding the four weighted probabilities gives $\frac14\left(\frac12+\frac12+\frac12+\frac14\right)=\frac7{16}.$

Thus, B is the correct answer.

23.

Travis tiene que cuidar a los terribles trillizos Thompson. Sabiendo que les encantan los números grandes, Travis les inventa un juego de conteo. Primero Tadd dirá el número $1,$ luego Todd debe decir los dos números siguientes ( $2$ y $3$ ), luego Tucker debe decir los tres números siguientes ( $4,$ $5,$ $6$ ), luego Tadd debe decir los cuatro números siguientes ( $7,$ $8,$ $9,$ $10$ ), y el proceso continúa rotando entre los tres niños en orden, diciendo cada uno un número más que el niño anterior, hasta llegar al número $10{,}000$ . ¿Cuál es el $2019$ o número dicho por Tadd?

Travis has to babysit the terrible Thompson triplets. Knowing that they love big numbers, Travis devises a counting game for them. First Tadd will say the number $1,$ then Todd must say the next two numbers ( $2$ and $3$ ), then Tucker must say the next three numbers ( $4,$ $5,$ $6$ ), then Tadd must say the next four numbers ( $7,$ $8,$ $9,$ $10$ ), and the process continues to rotate through the three children in order, each saying one more number than the previous child did, until the number $10{,}000$ is reached. What is the $2019$ th number said by Tadd?

$5743$

$5885$

$5979$

$6001$

$6011$

Conceptos:sucesión aritmética número triangular sumatoria

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Las longitudes de los turnos de Tadd forman la sucesión aritmética $1,4,7,\ldots$ .

Tadd’s turn lengths form the arithmetic sequence $1,4,7,\ldots$

Pista grande:

Halla qué turno de Tadd contiene su $2019$ o número.

Find which Tadd turn contains his $2019$ th number

Solución:

Tadd habla en turnos de longitudes $1,4,7,\ldots$ . Después de $n$ turnos de Tadd, ha dicho $\sum_{i=1}^n (3i-2)=\frac{3n^2-n}{2}$ números.

Para $n=36$ , este total es $1926$ , mientras que para $n=37$ es $2035$ . Por lo tanto, el $2019$ o número de Tadd es el $(2019-1926)=93$ o número de su $37$ o turno.

Antes de ese turno, los niños han completado turnos de longitudes $1$ hasta $108$ , diciendo $1+2+\cdots+108=5886$ números. El $93$ o número del siguiente turno es $5886+93=5979$ . Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Tadd speaks on turns of lengths $1,4,7,\ldots$ . After $n$ of Tadd’s turns, he has said $\sum_{i=1}^n (3i-2)=\frac{3n^2-n}{2}$ numbers.

For $n=36$ , this total is $1926$ , while for $n=37$ it is $2035$ . Therefore Tadd’s $2019$ th number is the $(2019-1926)=93$ rd number of his $37$ th turn.

Before that turn, the children have completed turns of lengths $1$ through $108$ , saying $1+2+\cdots+108=5886$ numbers. The $93$ rd number of the next turn is $5886+93=5979$ . Thus, C is the correct answer.

24.

Sean $p,$ $q,$ y $r$ las raíces distintas del polinomio $x^3 - 22x^2 + 80x - 67.$ Existen números reales $A,$ $B,$ y $C$ tales que $\begin{gathered} \frac{1}{s^3-22s^2+80s-67}\\ =\frac{A}{s-p}+\frac{B}{s-q}\\ \quad+\frac{C}{s-r} \end{gathered}$ para todos los números reales $s$ con $s\notin\{p,q,r\}.$ ¿Cuánto vale $\dfrac1A+\dfrac1B+\dfrac1C?$

Let $p,$ $q,$ and $r$ be the distinct roots of the polynomial $x^3 - 22x^2 + 80x - 67.$ There exist real numbers $A,$ $B,$ and $C$ such that $\begin{gathered} \frac{1}{s^3-22s^2+80s-67}\\ =\frac{A}{s-p}+\frac{B}{s-q}\\ \quad+\frac{C}{s-r} \end{gathered}$ for all real numbers $s$ with $s\notin\{p,q,r\}.$ What is $\dfrac1A+\dfrac1B+\dfrac1C?$

$243$

$244$

$245$

$246$

$247$

Conceptos:fracciones parciales Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Multiplica por $(s-p)(s-q)(s-r)$ .

Multiply by $(s-p)(s-q)(s-r)$

Pista grande:

Sustituye cada raíz y luego usa las fórmulas de Vieta.

Substitute each root, then use Vieta’s formulas

Solución:

Multiplicar la identidad por $(s-p)(s-q)(s-r)$ da $\begin{aligned} 1={}&A(s-q)(s-r)\\ &+B(s-p)(s-r)\\ &+C(s-p)(s-q). \end{aligned}$ Tomando sucesivamente $s=p,q,r$ , se obtiene $\begin{aligned} \frac1A&=(p-q)(p-r),\\ \frac1B&=(q-p)(q-r),\\ \frac1C&=(r-p)(r-q). \end{aligned}$

Sumando y desarrollando se obtiene $\begin{aligned} \frac1A+\frac1B+\frac1C &=p^2+q^2+r^2\\ &\quad-pq-pr-qr. \end{aligned}$ Por las fórmulas de Vieta, $p+q+r=22$ y $pq+pr+qr=80$ , así que $\begin{aligned} p^2+q^2+r^2&=22^2-2(80)\\ &=324. \end{aligned}$ Por lo tanto, el valor pedido es $324-80=244.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Multiplying the identity by $(s-p)(s-q)(s-r)$ gives $\begin{aligned} 1={}&A(s-q)(s-r)\\ &+B(s-p)(s-r)\\ &+C(s-p)(s-q). \end{aligned}$ Setting $s=p,q,r$ , in turn, yields $\begin{aligned} \frac1A&=(p-q)(p-r),\\ \frac1B&=(q-p)(q-r),\\ \frac1C&=(r-p)(r-q). \end{aligned}$

Adding and expanding gives $\begin{aligned} \frac1A+\frac1B+\frac1C &=p^2+q^2+r^2\\ &\quad-pq-pr-qr. \end{aligned}$ By Vieta’s formulas, $p+q+r=22$ and $pq+pr+qr=80$ , so $\begin{aligned} p^2+q^2+r^2&=22^2-2(80)\\ &=324. \end{aligned}$ Therefore the requested value is $324-80=244.$

Thus, B is the correct answer.

25.

¿Para cuántos enteros $n$ entre $1$ y $50,$ inclusive, es $\dfrac{(n^2-1)!}{(n!)^n}$ un entero? (Recuerda que $0! = 1.$ )

For how many integers $n$ between $1$ and $50,$ inclusive, is $\dfrac{(n^2-1)!}{(n!)^n}$ an integer? (Recall that $0! = 1.$ )

$31$

$32$

$33$

$34$

$35$

Conceptos:factorial divisibilidad primo

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Relaciona la expresión con un coeficiente multinomial.

Relate the expression to a multinomial coefficient

Pista grande:

La condición restante es si $n$ divide a $(n-1)!$ .

The remaining condition is whether $n$ divides $(n-1)!$

Solución:

Un hecho que ayuda mucho en este problema es que $\dfrac{(n^2)!}{(n!)^{n + 1}}$ siempre es un entero.

Esto se debe a que cuenta las maneras de dividir $n^2$ objetos en $n$ grupos no ordenados de tamaño $n.$

Ahora, $\dfrac{(n^2 - 1)!}{(n!)^n} = \dfrac{(n^2)!}{(n!)^{n + 1}} \cdot \dfrac{n!}{n^2}.$

Por tanto, cuando $n^2$ divide a $n!,$ la expresión original es un entero; esto equivale a que $n$ divida a $(n - 1)!.$

Supongamos que $n$ es compuesto. Si $n=ab$ con $2\le a<b<n$ , los factores distintos $a$ y $b$ aparecen en $(n-1)!$ , así que $(n-1)!$ es divisible por $n$ . Si $n=a^2$ con $a\ge3$ , entonces $(n-1)!$ contiene los factores distintos $a$ y $2a$ , cuyo producto es múltiplo de $n$ . Así, todo compuesto $n\ne4$ funciona. El caso $n=1$ también funciona directamente.

Recíprocamente, si $n=p$ es primo, el exponente de $p$ en el denominador es $p,$ mientras que su exponente en $(p^2-1)!$ es $p-1,$ por lo que la expresión no es un entero.

Para $n=4,$ el denominador contiene $2^{12},$ mientras que $15!$ solo contiene $2^{11},$ así que este caso tampoco funciona.

Hay $15$ primos a lo sumo $50,$ y al añadir $4,$ obtenemos $16$ valores de $n$ que no funcionan.

Por tanto, la respuesta buscada es $50 - 16 = 34.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

One fact that greatly helps with this problem is realizing that $\dfrac{(n^2)!}{(n!)^{n + 1}}$ is always an integer.

This is because it is the number of ways to split up $n^2$ objects into $n$ unordered groups of size $n.$

Now, we get that $\dfrac{(n^2 - 1)!}{(n!)^n} = \dfrac{(n^2)!}{(n!)^{n + 1}} \cdot \dfrac{n!}{n^2}.$

Therefore, whenever $n^2$ divides $n!,$ the original expression is an integer; this is equivalent to $n$ dividing $(n - 1)!.$

Suppose $n$ is composite. If $n=ab$ with $2\le a<b<n$ , then the distinct factors $a$ and $b$ both occur in $(n-1)!$ , so $(n-1)!$ is divisible by $n$ . If $n=a^2$ with $a\ge3$ , then $(n-1)!$ contains the distinct factors $a$ and $2a$ , whose product is a multiple of $n$ . Thus every composite $n\ne4$ works. The case $n=1$ also works directly.

Conversely, if $n=p$ is prime, the exponent of $p$ in the denominator is $p,$ while its exponent in $(p^2-1)!$ is $p-1,$ so the expression is not an integer.

For $n=4,$ the denominator contains $2^{12},$ while $15!$ contains only $2^{11},$ so this case also fails.

There are $15$ primes at most $50,$ and adding $4,$ we get $16$ values for $n$ that do not work.

Therefore, the desired answer is $50 - 16 = 34.$

Thus, D is the correct answer.