Soluciones del 2019 AMC 10A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión? $2^{\left(0^{\left(1^9\right)}\right)}+\left(\left(2^0\right)^1\right)^9$

What is the value of $2^{\left(0^{\left(1^9\right)}\right)}+\left(\left(2^0\right)^1\right)^9?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:exponente orden de las operaciones

Nivel de dificultad: 560

Solución:

Podemos evaluarlo así: $\begin{align*} &2^{\left(0^{\left(1^9\right)}\right)}+\left(\left(2^0\right)^1\right)^9\\ &= 2^{\left(0^1\right)} + \left(1^1\right)^9 \\&= 2^0 + 1^9 \\ &= 1 + 1 \\&= 2 \end{align*}$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We can evaluate this as follows. $\begin{align*} &2^{\left(0^{\left(1^9\right)}\right)}+\left(\left(2^0\right)^1\right)^9\\ &= 2^{\left(0^1\right)} + \left(1^1\right)^9 \\&= 2^0 + 1^9 \\ &= 1 + 1 \\&= 2 \end{align*}$

Thus, C is the correct answer.

2.

¿Cuál es la cifra de las centenas de $(20!-15!)$ ?

What is the hundreds digit of $(20!-15!)?$

$0$

$1$

$2$

$4$

$5$

Conceptos:factorial ceros finales divisibilidad

Nivel de dificultad: 770

Solución:

Observa que tanto $20!$ como $15!$ contienen factores de $5^3$ .

Esto significa que ambos son divisibles entre $1000,$ por lo que su diferencia también es múltiplo de $1000.$

Ser múltiplo de $1000$ hace que las últimas tres cifras sean $0,$ lo que muestra que la cifra de las centenas también es $0.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Note that $20!$ and $15!$ both have factors of $5^3$ in them.

This means that they are both divisible by $1000,$ making their difference also a multiple of $1000.$

Being a multiple of $1000$ makes the last three digits $0,$ which shows that the hundreds digit is also $0.$

Thus, A is the correct answer.

3.

Ana y Bonita nacieron en la misma fecha pero en años distintos, con $n$ años de diferencia. El año pasado Ana tenía $5$ veces la edad de Bonita. Este año la edad de Ana es el cuadrado de la edad de Bonita. ¿Cuál es $n$ ?

Ana and Bonita were born on the same date in different years, $n$ years apart. Last year Ana was $5$ times as old as Bonita. This year Ana's age is the square of Bonita's age. What is $n?$

$3$

$5$

$9$

$12$

$15$

Conceptos:edades sistema de ecuaciones cuadrática

Nivel de dificultad: 960

Solución:

Sea $a$ la edad de Ana y $b$ la edad de Bonita. El enunciado nos da entonces que $\begin{gather*} a - 1 = 5(b - 1), \\ a = b^2. \end{gather*}$

Podemos sustituir la segunda ecuación en la primera para obtener $\begin{gather*} b^2 - 1 = 5b - 5 \\ b^2 - 5b + 4 = 0 \\ (b - 4)(b - 1) = 0. \end{gather*}$

Vemos que $b \neq 1$ , ya que eso haría que Ana y Bonita tuvieran la misma edad, así que sabemos que $b = 4.$

Esto nos da que $a = 4^2 = 16$ y $n = 16 - 4 = 12.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $a$ be Ana's age and $b$ be Bonita's age. The statement then gives us that $\begin{gather*} a - 1 = 5(b - 1), \\ a = b^2. \end{gather*}$

We can substitute the second equation into the first to get $\begin{gather*} b^2 - 1 = 5b - 5 \\ b^2 - 5b + 4 = 0 \\ (b - 4)(b - 1) = 0. \end{gather*}$

We can see that $b \neq 1$ since that would make Ana and Bonita the same age, so we know that $b = 4.$

This gives us that $a = 4^2 = 16$ and $n = 16 - 4 = 12.$

Thus, D is the correct answer.

4.

Una caja contiene $28$ bolas rojas, $20$ bolas verdes, $19$ bolas amarillas, $13$ bolas azules, $11$ bolas blancas y $9$ bolas negras. ¿Cuál es el número mínimo de bolas que se deben sacar de la caja sin reemplazo para garantizar que se saquen al menos $15$ bolas de un mismo color?

A box contains $28$ red balls, $20$ green balls, $19$ yellow balls, $13$ blue balls, $11$ white balls, and $9$ black balls. What is the minimum number of balls that must be drawn from the box without replacement to guarantee that at least $15$ balls of a single color will be drawn?

$75$

$76$

$79$

$84$

$91$

Conceptos:principio del palomar argumento extremal

Nivel de dificultad: 1070

Solución:

Observa que podemos sacar hasta $14$ bolas de cada color sin garantizar que se saquen $15$ bolas de un mismo color.

Esto significa que podemos sacar todas las bolas negras, blancas y azules, junto con $14$ bolas rojas, verdes y amarillas.

Esto nos da un total de $9 + 11 + 13 + 3 \cdot 14$ $= 33 + 42$ $= 75.$ Sin embargo, debemos sacar una más al final para asegurar esa $15$ a bola de algún color: $75 + 1 = 76.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Note that we can pull as many as $14$ balls of each color without ensuring that $15$ balls of one color are drawn.

This means that we can draw all of the black, white and blue balls, along with $14$ red, green, and yellow balls.

This gives us a total of $9 + 11 + 13 + 3 \cdot 14$ $= 33 + 42$ $= 75.$ We need to add one at the end, however, to ensure that we get that $15$ th ball of some color, $75 + 1 = 76.$

Thus, B is the correct answer.

5.

¿Cuál es la mayor cantidad de enteros consecutivos cuya suma es $45$ ?

What is the greatest number of consecutive integers whose sum is $45?$

$9$

$25$

$45$

$90$

$120$

Conceptos:sucesión aritmética argumento extremal

Nivel de dificultad: 1070

Solución:

Supongamos que hay $k$ enteros consecutivos con primer término $a$ . Su suma es $\dfrac{k(2a+k-1)}{2}=45$ , así que $k$ debe dividir a $90$ . Por lo tanto, el número de términos no puede exceder $90$ .

Esta cota se alcanza con $-44, -43, \cdots, 44, 45$ que tiene $90$ términos y suma $45$ .

Así, la mayor cantidad posible de enteros consecutivos es $90$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Suppose there are $k$ consecutive integers with first term $a.$ Their sum is $\dfrac{k(2a+k-1)}{2}=45,$ so $k$ must divide $90.$ Therefore the number of terms cannot exceed $90.$

This bound is attained by $-44, -43, \cdots, 44, 45$ which has $90$ terms and sum $45.$

Thus the greatest possible number of consecutive integers is $90.$

Thus, D is the correct answer.

6.

¿Para cuántos de los siguientes tipos de cuadriláteros existe un punto en el plano del cuadrilátero que sea equidistante de los cuatro vértices del cuadrilátero?

• un cuadrado

• un rectángulo que no es un cuadrado

• un rombo que no es un cuadrado

• un paralelogramo que no es un rectángulo ni un rombo

• un trapecio isósceles que no es un paralelogramo

For how many of the following types of quadrilaterals does there exist a point in the plane of the quadrilateral that is equidistant from all four vertices of the quadrilateral?

• a square

• a rectangle that is not a square

• a rhombus that is not a square

• a parallelogram that is not a rectangle or a rhombus

• an isosceles trapezoid that is not a parallelogram

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:cuadrilátero cíclico circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio

Nivel de dificultad: 1020

Solución:

Observa que si un punto es equidistante de todos los vértices, entonces ese punto es el centro de la circunferencia circunscrita de la figura, y el cuadrilátero debe ser cíclico.

La pregunta se convierte entonces en cuáles de estas figuras son cíclicas (tienen circunferencia circunscrita). Una condición que podemos usar es que los ángulos opuestos sean suplementarios.

Claramente, un cuadrado y un rectángulo que no es cuadrado funcionan (los ángulos opuestos son rectos y suman $180^{\circ}$ ).

Un rombo que no es cuadrado no funciona, ya que los ángulos opuestos son iguales, pero no son $90^{\circ}.$

Un paralelogramo que no es rectángulo ni rombo enfrenta el mismo problema, por lo que tampoco es cíclico.

Un trapecio isósceles que no es paralelogramo tiene, por definición, ángulos opuestos suplementarios, por lo que es cíclico.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that if a point is equidistant from all the vertices, then that point is the center of the shape's circumcircle.

The question then becomes which of these shapes is cyclic (has a circumcircle). One condition that we can use is that opposite angles are supplementary.

Clearly, a square and rectangle that is not a square work (opposite angles are right, adding up to $180^{\circ}$ ).

A rhombus that is not a square does not work, since opposite angles are equal, but they are not $90^{\circ}.$

A parallelogram that is not a rectangle or a rhombus faces the same problem as above, making it not cyclic as well.

An isosceles trapezoid that is not a parallelogram by definition has supplementary opposite angles, making it cyclic.

Thus, C is the correct answer.

7.

Dos rectas con pendientes $\frac{1}{2}$ y $2$ se cortan en $(2, 2)$ . ¿Cuál es el área del triángulo encerrado por estas dos rectas y la recta $x + y = 10$ ?

Two lines with slopes $\frac{1}{2}$ and $2$ intersect at $(2, 2).$ What is the area of the triangle enclosed by these two lines and the line $x + y = 10?$

$4$

$4\sqrt{2}$

$6$

$8$

$6\sqrt{2}$

Conceptos:geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 1280

Solución:

Primero hallemos las ecuaciones de las dos rectas. Usando la forma pendiente-intersección, sabemos que tienen la forma $y = ax + b$ .

Para la primera recta, sabemos que $a = \dfrac{1}{2}$ , por lo que obtenemos $2 = \dfrac{1}{2} \cdot 2 + b$ $b = 1.$

De manera similar, para la segunda recta obtenemos $a = 2$ , lo que nos da $2 = 2 \cdot 2 + b$ $b = -2.$

Nuestras dos rectas son ahora $y = \dfrac{1}{2}x + 1$ y $y = 2x - 2$ .

Podemos reescribir $x + y = 10$ como $y = 10 - x$ . Sustituyendo esto en la primera recta se obtiene $10 - x = \dfrac{1}{2}x + 1$ $x = 6, y = 4.$

De manera similar, para la segunda recta, $10 - x = 2x - 2$ $x = 4, y = 6.$

Por lo tanto, los tres vértices del triángulo son $(2, 2), (6, 4)$ y $(4, 6)$ .

Observa que estos vértices forman un triángulo isósceles; la fórmula de la distancia da los tres lados como $2\sqrt{5}, 2\sqrt{5}$ y $2\sqrt{2}$ .

El punto medio de la base es $(5, 5)$ , y aplicando de nuevo la fórmula de la distancia obtenemos que la altura es $3\sqrt{2}$ .

$\dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{2} = 6.$ Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let us first find the equations of the two lines. Using slope-intercept form, we know they are the form $y = ax + b.$

For the first line, we know that $a = \dfrac{1}{2},$ so we get $2 = \dfrac{1}{2} \cdot 2 + b$ $b = 1.$

Similarly, for the second line, we get that $a = 2,$ which gives us $2 = 2 \cdot 2 + b$ $b = -2.$

Our two lines are now $y = \dfrac{1}{2}x + 1$ and $y = 2x - 2.$

We can rewrite $x + y = 10$ as $y = 10 - x.$ Substituting this into the first line yields $10 - x = \dfrac{1}{2}x + 1$ $x = 6, y = 4.$

Similarly, for the second line, $10 - x = 2x - 2$ $x = 4, y = 6.$

The three vertices of the triangle are therefore $(2, 2), (6, 4),$ and $(4, 6).$

Note that these vertices form an isosceles triangle (distance formula yields the three sides as $2\sqrt{5}, 2\sqrt{5},$ and $2\sqrt{2}.$

The midpoint of the base is $(5, 5),$ and applying the distance formula again tells us that the height is $3\sqrt{2}.$

The area is therefore $\dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{2} = 6.$ Thus, C is the correct answer.

8.

La figura de abajo muestra la recta $\ell$ con un patrón regular, infinito y recurrente de cuadrados y segmentos de recta.

Aparte de la transformación identidad, ¿cuántos de los siguientes cuatro tipos de transformaciones de movimiento rígido del plano en el que está dibujada esta figura la transformarán en sí misma?

• alguna rotación alrededor de un punto de la recta $\ell$

• alguna traslación en la dirección paralela a la recta $\ell$

• la reflexión a través de la recta $\ell$

• alguna reflexión a través de una recta perpendicular a la recta $\ell$

The figure below shows line $\ell$ with a regular, infinite, recurring pattern of squares and line segments.

How many of the following four kinds of rigid motion transformations of the plane in which this figure is drawn, other than the identity transformation, will transform this figure into itself?

• some rotation around a point of line $\ell$

• some translation in the direction parallel to line $\ell$

• the reflection across line $\ell$

• some reflection across a line perpendicular to line $\ell$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:transformación simetría

Nivel de dificultad: 1220

Solución:

La primera transformación funciona, pues podemos rotar $\ell$ en $180^{\circ}$ alrededor del punto medio entre un cuadrado que apunta hacia arriba y uno que apunta hacia abajo.

La segunda también funciona, pues basta con desplazar $\ell$ hacia la derecha hasta que los cuadrados vuelvan a alinearse.

La tercera falla, ya que una reflexión haría que los segmentos apuntaran en la dirección opuesta.

La cuarta transformación tampoco funciona, ya que las líneas diagonales volverían a apuntar en la dirección equivocada.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The first transformation works, as we can rotate $\ell$ $180^{\circ}$ around the midpoint between an upward-facing and downward-facing square.

The second also works, as we can just move $\ell$ to the right until the squares line up with each other again.

The third fails, as a reflection would cause the line segments to face the opposite direction.

The fourth transformation also doesn't work since the diagonal lines would again be facing in the wrong direction.

Thus, C is the correct answer.

9.

¿Cuál es el mayor entero positivo de tres cifras $n$ para el cual la suma de los primeros $n$ enteros positivos no es un divisor del producto de los primeros $n$ enteros positivos?

What is the greatest three-digit positive integer $n$ for which the sum of the first $n$ positive integers is not a divisor of the product of the first $n$ positive integers?

$995$

$996$

$997$

$998$

$999$

Conceptos:factorial divisibilidad primo

Nivel de dificultad: 1420

Solución:

La suma de los primeros $n$ números es $\dfrac{n(n + 1)}{2}.$ Necesitamos que esto no divida a $n!.$

Si $n + 1$ es compuesto, entonces $n + 1$ divide a $2(n-1)!.$ Si es un producto de dos factores distintos menores que $n,$ ambos aparecen en $(n-1)!.$ Si es el cuadrado de un primo, $(n-1)!$ contiene dos copias de ese primo. Por lo tanto, $\dfrac{n(n+1)}{2}$ divide a $n!.$

Recíprocamente, si $n + 1$ es primo, ese factor primo no aparece en $n!.$ Así, la condición se cumple exactamente cuando $n+1$ es primo, y el mayor $n$ de tres cifras es $997 - 1 = 996.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The sum of the first $n$ numbers is $\dfrac{n(n + 1)}{2}.$ We need this to not divide $n!.$

If $n + 1$ is composite, then $n + 1$ divides $2(n-1)!.$ If it is a product of two distinct factors less than $n,$ both occur in $(n-1)!.$ If it is a prime square, $(n-1)!$ contains two copies of that prime. Hence $\dfrac{n(n+1)}{2}$ divides $n!.$

Conversely, if $n + 1$ is prime, that prime factor does not occur in $n!.$ Thus the condition holds exactly when $n+1$ is prime, and the greatest three-digit $n$ is $997 - 1 = 996.$

Thus, B is the correct answer.

10.

Un piso rectangular de $10$ pies de ancho y $17$ pies de largo está embaldosado con $170$ baldosas cuadradas de un pie de lado. Un insecto camina de una esquina a la esquina opuesta en línea recta. Incluyendo la primera y la última baldosa, ¿cuántas baldosas visita el insecto?

A rectangular floor that is $10$ feet wide and $17$ feet long is tiled with $170$ one-foot square tiles. A bug walks from one corner to the opposite corner in a straight line. Including the first and the last tile, how many tiles does the bug visit?

$17$

$25$

$26$

$27$

$28$

Conceptos:máximo común divisor conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 1240

Solución:

Observa que cada vez que el insecto cruza una línea vertical u horizontal, visita una baldosa nueva.

Esto significa que el número de baldosas que visita el insecto es $1$ (la primera baldosa) más el número de líneas que cruza.

El insecto nunca pasa por una esquina, ya que $10$ y $17$ son primos entre sí, así que no tenemos que preocuparnos por eso.

El insecto cruza $16$ líneas horizontales y $9$ líneas verticales, para un total de $1 + 16 + 9 = 26$ baldosas.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that every time the bug crosses a vertical or horizontal line, the bug visits one new tile.

This means that the number of tiles the bug visits is $1$ (the first tile) plus the number of lines it crosses.

The bug never walks over a corner since $10$ and $17$ are relatively prime, so we don't have to worry about that.

The bug crosses $16$ horizontal lines and $9$ vertical lines for a total of $1 + 16 + 9 = 26$ tiles.

Thus, C is the correct answer.

11.

¿Cuántos divisores enteros positivos de $201^9$ son cuadrados perfectos o cubos perfectos (o ambos)?

How many positive integer divisors of $201^9$ are perfect squares or perfect cubes (or both)?

$32$

$36$

$37$

$39$

$41$

Conceptos:factorización en primos potencia perfecta inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 1480

Solución:

Tomando la factorización prima de $201^9,$ obtenemos $3^9 \cdot 67^9.$

Observa que un cuadrado perfecto tiene exponentes pares para sus factores primos, y los exponentes de un cubo son divisibles entre $3.$

Hay $5$ opciones para un exponente par, de $0$ a $8,$ y $4$ opciones para múltiplos de $3,$ de $0$ a $9.$

Esto nos da $5^2$ opciones para los cuadrados y $4^2$ opciones para los cubos. Sin embargo, tenemos que restar las sextas potencias.

Con la misma lógica, las sextas potencias deben tener exponentes de sus factores primos divisibles entre $6.$ Hay $2$ opciones, $0$ y $6.$

Esto significa que hay $2^2 = 4$ sextas potencias. Por inclusión-exclusión, esto nos da un total de $25 + 16 - 4 = 37.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Taking the prime factorization of $201^9,$ we get $3^9 \cdot 67^9.$

Note that a perfect square has even exponents for its prime factors, and a cube's exponents are divisible by $3.$

There are $5$ options for an even exponent, from $0$ through $8,$ and $4$ options for multiples of $3,$ from $0$ through $9.$

This gives us $5^2$ options for the squares and $4^2$ options for the cubes. We have to subtract out the sixth powers, however.

Using the same logic, sixth powers have to have exponents of prime factors be divisible by $6.$ There are $2$ options, $0$ and $6.$

This means that there are $2^2 = 4$ sixth powers. This gives us a total of $25 + 16 - 4 = 37.$ perfect squares or perfect cubes.

Thus, C is the correct answer.

12.

Melanie calcula la media $\mu,$ la mediana $M$ y las modas de los $365$ valores que son las fechas de los meses de $2019.$ Así, sus datos constan de $12$ copias de $1,$ $12$ copias de $2,$ . . . , $12$ copias de $28,$ $11$ copias de $29,$ $11$ copias de $30$ y $7$ copias de $31.$ Sea $d$ la mediana de las modas. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Melanie computes the mean $\mu,$ the median $M,$ and the modes of the $365$ values that are the dates in the months of $2019.$ Thus her data consist of $12$ copies of $1,$ $12$ copies of $2,$ . . . , $12$ copies of $28,$ $11$ copies of $29,$ $11$ copies of $30,$ and $7$ copies of $31.$ Let $d$ be the median of the modes. Which of the following statements is true?

$\mu \lt d \lt M$

$M \lt d \lt \mu$

$d = M =\mu$

$d \lt M \lt \mu$

$d \lt \mu \lt M$

Conceptos:media mediana (datos)moda

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

Las modas son todos los enteros del $1$ al $28,$ por lo que su mediana es $d=\dfrac{14+15}{2}=14.5.$

Hay $365$ entradas, así que $M$ es el $183$ o número. Las fechas del $1$ al $15$ ocupan $15 \cdot 12 = 180$ posiciones, por lo que $M=16.$

La suma de todas las fechas es $\begin{aligned}12(1+\cdots+28)&+11(29+30)\\&+7\cdot31=5738.\end{aligned}$ Por lo tanto, $\mu=\dfrac{5738}{365}\approx15.72.$

Por lo tanto, $d \lt \mu \lt M.$ Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The modes are all the integers from $1$ through $28,$ so their median is $d=\dfrac{14+15}{2}=14.5.$

There are $365$ entries, so $M$ is the $183$ rd number. The dates from $1$ through $15$ occupy $15 \cdot 12 = 180$ positions, so $M=16.$

The sum of all dates is $\begin{aligned}12(1+\cdots+28)&+11(29+30)\\&+7\cdot31=5738.\end{aligned}$ Hence $\mu=\dfrac{5738}{365}\approx15.72.$

Therefore $d \lt \mu \lt M.$ Thus, E is the correct answer.

13.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo isósceles con $BC = AC$ y $\angle ACB = 40^{\circ}.$ Construye la circunferencia de diámetro $\overline{BC},$ y sean $D$ y $E$ los otros puntos de intersección de la circunferencia con los lados $\overline{AC}$ y $\overline{AB},$ respectivamente. Sea $F$ la intersección de las diagonales del cuadrilátero $BCDE.$ ¿Cuál es la medida en grados de $\angle BFC$ ?

Let $\triangle ABC$ be an isosceles triangle with $BC = AC$ and $\angle ACB = 40^{\circ}.$ Construct the circle with diameter $\overline{BC},$ and let $D$ and $E$ be the other intersection points of the circle with the sides $\overline{AC}$ and $\overline{AB},$ respectively. Let $F$ be the intersection of the diagonals of the quadrilateral $BCDE.$ What is the degree measure of $\angle BFC ?$

$90$

$100$

$105$

$110$

$120$

Conceptos:ángulo inscrito persecución de ángulos triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 1420

Solución:

Como $\overline{BC}$ es el diámetro de la circunferencia, $\angle BDC$ y $\angle BEC$ son ángulos rectos.

Sabemos que $\angle ABC = 70^{\circ}$ por el hecho de que $\triangle ABC$ es isósceles.

Usando que los ángulos de un triángulo suman $180^{\circ},$ obtenemos que $\begin{align*} \angle ECB &= 180^{\circ} - 70^{\circ} - 90^{\circ}\\&= 20^{\circ} \end{align*}$ y $\begin{align*} \angle DBC &= 180^{\circ} - 40^{\circ} - 90^{\circ}\\&= 50^{\circ}.\end{align*}$

Ahora, a partir de $\triangle BFC,$ obtenemos que $\begin{align*} \angle BFC &= 180^{\circ} - 50^{\circ} - 20^{\circ} \\&= 110^{\circ}.\end{align*}$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Since $\overline{BC}$ is the diameter of the circle, we get that $\angle BDC$ and $\angle BEC$ are right angles.

We know that $\angle ABC = 70^{\circ}$ from the fact that $\triangle ABC$ is isosceles.

Using the fact that the angles of a triangle add up to $180^{\circ},$ we get that $\begin{align*} \angle ECB &= 180^{\circ} - 70^{\circ} - 90^{\circ}\\&= 20^{\circ} \end{align*}$ and $\begin{align*} \angle DBC &= 180^{\circ} - 40^{\circ} - 90^{\circ}\\&= 50^{\circ}.\end{align*}$

Now, from $\triangle BFC,$ we get that $\begin{align*} \angle BFC &= 180^{\circ} - 50^{\circ} - 20^{\circ} \\&= 110^{\circ}.\end{align*}$ Thus, D is the correct answer.

14.

Para un conjunto de cuatro rectas distintas en un plano, hay exactamente $N$ puntos distintos que están en dos o más de las rectas. ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $N$ ?

For a set of four distinct lines in a plane, there are exactly $N$ distinct points that lie on two or more of the lines. What is the sum of all possible values of $N?$

$14$

$16$

$18$

$19$

$21$

Conceptos:conteo de intersecciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

Los valores $0,1,3,4,5,$ y $6$ son alcanzables. Cuatro rectas paralelas dan $0$ ; cuatro rectas concurrentes dan $1$ ; tres rectas paralelas cortadas por una cuarta dan $3$ ; tres rectas concurrentes más una cuarta que no pasa por ese punto dan $4$ ; tres rectas que forman un triángulo más una cuarta paralela a un lado dan $5$ ; y cuatro rectas en posición general dan $\binom42=6$ .

Queda descartar $2$ . Supongamos que los únicos puntos de intersección son $X$ e $Y$ . Si ninguna recta pasa por ambos, entonces todas las rectas que pasan por $X$ deben ser paralelas a las que pasan por $Y$ para evitar nuevas intersecciones, lo cual es imposible porque dos rectas distintas que pasan por $X$ no son paralelas. Si una recta pasa por $X$ e $Y$ , entonces cualquier otra recta que pase por $X$ y cualquier otra que pase por $Y$ deben ser paralelas; la cuarta recta sigue creando una intersección adicional a menos que sea paralela a ambas, lo cual no puede cubrir ambos puntos.

Así, los valores posibles son $0,1,3,4,5,6$ , cuya suma es $19$ . Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The values $0,1,3,4,5,$ and $6$ are attainable. Four parallel lines give $0$ , four concurrent lines give $1$ , three parallel lines cut by a fourth give $3$ , three concurrent lines plus a fourth not through that point give $4$ , three lines forming a triangle plus a fourth parallel to one side give $5$ , and four lines in general position give $\binom42=6$ .

It remains to rule out $2$ . Suppose the only intersection points are $X$ and $Y$ . If no line passes through both, then the lines through $X$ must all be parallel to the lines through $Y$ to avoid new intersections, which is impossible because two distinct lines through $X$ are not parallel. If one line passes through both $X$ and $Y$ , then any other line through $X$ and any other line through $Y$ must be parallel; the fourth line still creates an additional intersection unless it is parallel to both, which cannot cover both points.

Thus the possible values are $0,1,3,4,5,6$ , whose sum is $19$ . Thus, D is the correct answer.

15.

Una sucesión de números se define recursivamente por $a_1 = 1,$ $a_2 = \frac{3}{7},$ y $a_n=\dfrac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2a_{n-2} - a_{n-1}}$ para todo $n \geq 3.$ Entonces $a_{2019}$ puede escribirse como $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $p+q$ ?

A sequence of numbers is defined recursively by $a_1 = 1,$ $a_2 = \frac{3}{7},$ and $a_n=\dfrac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2a_{n-2} - a_{n-1}}$ for all $n \geq 3.$ Then $a_{2019}$ can be written as $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. What is $p+q ?$

$2020$

$4039$

$6057$

$6061$

$8078$

Conceptos:recursión sucesión aritmética sustitución

Nivel de dificultad: 1540

Solución:

Tomando recíprocos en la fórmula recursiva se obtiene $\begin{align*} \dfrac{1}{a_n} &= \dfrac{2a_{n - 2} - a_{n - 1}}{a_{n - 2} \cdot a_{n - 1}} \\&= \dfrac{2}{a_{n - 1}} - \dfrac{1}{a_{n - 2}}. \end{align*}$

Esto significa que $\dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n - 1}} = \dfrac{1}{a_{n - 1}} - \dfrac{1}{a_{n - 2}},$ lo que nos dice que $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ es una sucesión aritmética.

Usando $a_1$ y $a_2,$ obtenemos que la diferencia común es $\dfrac{1}{\frac{3}{7}} - \dfrac{1}{1} = \dfrac{7}{3} - 1 = \dfrac{4}{3}.$

De esto, obtenemos que $\begin{align*} \dfrac{1}{a_{2019}} &= 1 + 2018 \cdot \dfrac{4}{3} \\&= \dfrac{8075}{3}. \end{align*}$

$p + q$ es, por lo tanto, $8075 + 3 = 8078.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Taking reciprocals in the recursive formula gives $\begin{align*} \dfrac{1}{a_n} &= \dfrac{2a_{n - 2} - a_{n - 1}}{a_{n - 2} \cdot a_{n - 1}} \\&= \dfrac{2}{a_{n - 1}} - \dfrac{1}{a_{n - 2}}. \end{align*}$

This means that $\dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n - 1}} = \dfrac{1}{a_{n - 1}} - \dfrac{1}{a_{n - 2}},$ which tells us that $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ is an arithmetic sequence.

Using $a_1$ and $a_2,$ we get that the common difference is $\dfrac{1}{\frac{3}{7}} - \dfrac{1}{1} = \dfrac{7}{3} - 1 = \dfrac{4}{3}.$

From this, we get that $\begin{align*} \dfrac{1}{a_{2019}} &= 1 + 2018 \cdot \dfrac{4}{3} \\&= \dfrac{8075}{3}. \end{align*}$

$p + q$ is therefore $8075 + 3 = 8078.$

Thus, E is the correct answer.

16.

La figura de abajo muestra $13$ círculos de radio $1$ dentro de un círculo más grande. Todas las intersecciones ocurren en puntos de tangencia. ¿Cuál es el área de la región sombreada en la figura, dentro del círculo grande pero fuera de todos los círculos de radio $1$ ?

The figure below shows $13$ circles of radius $1$ within a larger circle. All the intersections occur at points of tangency. What is the area of the region, shaded in the figure, inside the larger circle but outside all the circles of radius $1?$

$4 \pi \sqrt{3}$

$7 \pi$

$\pi\left(3\sqrt{3} +2\right)$

$10 \pi \left(\sqrt{3} - 1\right)$

$\pi\left(\sqrt{3} + 6\right)$

Conceptos:área del círculo triángulo equilátero circunferencias tangentes

Nivel de dificultad: 1540

Solución:

Sabemos que $\triangle ABC$ y $\triangle ABO$ son triángulos equiláteros.

Obtenemos que $OC = 2\sqrt{3}$ usando triángulos rectángulos especiales para hallar las alturas de los triángulos.

Por lo tanto, el radio del círculo grande es $2\sqrt{3} + 1,$ ya que hay un radio unitario adicional después de $\overline{OC}.$

El área del círculo grande es $(2\sqrt{3} + 1)^2\pi = (13 + 4\sqrt{3})\pi.$

El área de todos los círculos interiores es $13\pi.$

$(13 + 4\sqrt{3})\pi - 13\pi = 4\pi\sqrt{3}.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

We know $\triangle ABC$ and $\triangle ABO$ are equilateral triangles.

We get that $OC = 2\sqrt{3}$ using special right triangles to find the altitudes of the triangles.

The radius of the larger circle is therefore $2\sqrt{3} + 1,$ since there is the extra unit radius after $\overline{OC}.$

The area of the larger circle is $(2\sqrt{3} + 1)^2\pi = (13 + 4\sqrt{3})\pi.$

The area of all the inner circles is $13\pi.$

The area of the shaded region is $(13 + 4\sqrt{3})\pi - 13\pi = 4\pi\sqrt{3}.$

Thus, A is the correct answer.

17.

Un niño construye torres usando cubos de forma idéntica pero de distintos colores. ¿Cuántas torres diferentes de altura $8$ cubos puede construir el niño con $2$ cubos rojos, $3$ cubos azules y $4$ cubos verdes? (Se dejará fuera un cubo.)

A child builds towers using identically shaped cubes of different colors. How many different towers with a height $8$ cubes can the child build with $2$ red cubes, $3$ blue cubes, and $4$ green cubes? (One cube will be left out.)

$24$

$288$

$312$

$1,260$

$40,320$

Conceptos:permutaciones de multiconjuntos biyección

Nivel de dificultad: 1480

Solución:

Toda torre de altura $8$ pudo haberse formado creando una torre de altura $9$ y quitando el cubo superior.

Esto muestra que hay una correspondencia uno a uno entre las torres de altura $8$ y $9.$

Hay $9!$ maneras de hacer una torre de altura $9,$ pero estamos contando de más, ya que hay varios cubos del mismo color.

Tenemos que dividir entre las $2!$ maneras de ordenar los cubos rojos, $3!$ para los cubos azules y $4!$ para los cubos verdes.

Por lo tanto, el número de disposiciones válidas es $\dfrac{9!}{2! \cdot 3! \cdot 4!} = 1,260.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Every tower of height $8$ could have been formed by creating a tower of height $9$ and removing the top cube.

This shows that there is a one-to-one correspondence between towers of height $8$ and $9.$

There are $9!$ ways to make a tower of height $9,$ but we are overcounting since there are multiple cubes of the same color.

We have to divide through by $2!$ ways to arrange the red cubes, $3!$ for the blue cubes, and $4!$ for the green cubes.

Therefore, the number of valid arrangements is $\dfrac{9!}{2! \cdot 3! \cdot 4!} = 1,260.$

Thus, D is the correct answer.

18.

Para cierto entero positivo $k,$ la representación periódica en base $k$ de la fracción (en base diez) $\dfrac{7}{51}$ es $0.\overline{23}_k = 0.232323..._k.$ ¿Cuánto vale $k$ ?

For some positive integer $k,$ the repeating base- $k$ representation of the (base-ten) fraction $\dfrac{7}{51}$ is $0.\overline{23}_k = 0.232323..._k.$ What is $k?$

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Conceptos:base numérica decimal periódico sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

La fracción periódica en base $k$ es $2k^{-1}+3k^{-2}$ $+2k^{-3}+3k^{-4}+\cdots$ . Agrupando las potencias impares y pares se obtiene $\begin{aligned} &2(k^{-1}+k^{-3}+\cdots) \\ &\quad {}+3(k^{-2}+k^{-4}+\cdots). \end{aligned}$

Usando series geométricas, estas sumas son $\dfrac{2k}{k^2-1}$ y $\dfrac{3}{k^2-1}$ , así que $0.\overline{23}_k=\dfrac{2k+3}{k^2-1}$ .

Igualando $\dfrac{2k+3}{k^2-1}=\dfrac{7}{51}$ se obtiene $51(2k+3)=7(k^2-1)$ , de modo que $7k^2-102k-160=0$ . Por lo tanto, $k=16$ . Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The repeating base- $k$ fraction is $2k^{-1}+3k^{-2}$ $+2k^{-3}+3k^{-4}+\cdots$ . Grouping odd and even powers gives $\begin{aligned} &2(k^{-1}+k^{-3}+\cdots) \\ &\quad {}+3(k^{-2}+k^{-4}+\cdots). \end{aligned}$

Using geometric series, these sums are $\dfrac{2k}{k^2-1}$ and $\dfrac{3}{k^2-1}$ , so $0.\overline{23}_k=\dfrac{2k+3}{k^2-1}$ .

Setting $\dfrac{2k+3}{k^2-1}=\dfrac{7}{51}$ gives $51(2k+3)=7(k^2-1)$ , so $7k^2-102k-160=0$ . Hence $k=16$ . Thus, D is the correct answer.

19.

¿Cuál es el menor valor posible de $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$ $+ 2019,$ donde $x$ es un número real?

What is the least possible value of $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$ $+ 2019,$ where $x$ is a real number?

$2017$

$2018$

$2019$

$2020$

$2021$

Conceptos:diferencia de cuadrados optimización sustitución

Nivel de dificultad: 1540

Solución:

Multiplicando los dos primeros términos y los dos últimos se obtiene $(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6).$

Observa que estos dos términos difieren en $2.$ Podemos intentar expresarlo como una diferencia de cuadrados, que es $(x^2 + 5x + 5)^2 - 1.$

Sumando $2019$ a esto obtenemos $(x^2 + 5x + 5)^2 + 2018.$

Los cuadrados son no negativos, así que mientras encontremos una forma de hacer que la expresión interior sea $0,$ podemos hacer que el cuadrado sea $0.$

El discriminante es $5^2 - 4 \cdot 5 = 5,$ que es positivo, lo que significa que hay un valor que hace que el cuadrado sea $0.$

$0^2 + 2018 = 2018.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Multiplying the first two terms and the last terms yields $(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6).$

Note that these two terms differ by $2.$ We can try to express this as a difference of squares, which is $(x^2 + 5x + 5)^2 - 1.$

Adding $2019$ to this gets us $(x^2 + 5x + 5)^2 + 2018.$

Squares are non-negative, so as long as we find a way to make the inner expression $0,$ we can make the square $0.$

The discriminant is $5^2 - 4 \cdot 5 = 5,$ which is positive meaning that there is a value that makes the square $0.$

This means that the minimum value would be $0^2 + 2018 = 2018.$ Thus, B is the correct answer.

20.

Los números $1,2,\dots,9$ se colocan al azar en los $9$ cuadros de una cuadrícula $3 \times 3$ . Cada cuadro recibe un número y cada número se usa una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números en cada fila y cada columna sea impar?

The numbers $1,2,\dots,9$ are randomly placed into the $9$ squares of a $3 \times 3$ grid. Each square gets one number, and each of the numbers is used once. What is the probability that the sum of the numbers in each row and each column is odd?

$\dfrac{1}{21}$

$\dfrac{1}{14}$

$\dfrac{5}{63}$

$\dfrac{2}{21}$

$\dfrac{1}{7}$

Conceptos:paridad probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1820

Solución:

Observa que la única forma de obtener una suma impar es que haya $0$ o $2$ números pares en la fila o columna.

La única forma de que esto ocurra es que los $4$ números pares formen un rectángulo con lados paralelos al cuadrado grande.

La manera de verlo es que elegimos un lugar para el primer número par. Luego necesitamos elegir otro cuadro en la misma fila, $x,$ y en la misma columna, $y,$ para que sean pares.

El último par debe estar en la misma columna que $x$ y en la misma fila que $y.$ Esto forma el rectángulo antes mencionado.

Hay cuatro rectángulos $2 \times 2$ , dos rectángulos $3 \times 2$ , dos rectángulos $2 \times 3$ y un rectángulo $3 \times 3$ .

Esto nos da un total de $4 + 2 + 2 + 1 = 9$ rectángulos, que son las disposiciones para los números pares.

Hay $4!$ maneras de ordenar los números pares y $5!$ maneras de ordenar los números impares.

Esto significa que hay un total de $9 \cdot 4! \cdot 5!$ configuraciones de cuadros que satisfacen la condición.

Hay un total de $9!$ disposiciones sin restricciones. Por lo tanto, la probabilidad es $\dfrac{9 \cdot 4! \cdot 5!}{9!} = \dfrac{1}{14}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Note that the only way to get an odd sum is if there are either $0$ or $2$ even numbers in the row or column.

The only way for this to happen is if the $4$ even numbers form a rectangle with sides parallel to the large square.

The way to see this is we choose a spot for the first even number. Then we need to choose another square in the same row, $x,$ and column, $y,$ to be even.

The final even has to be in same column as $x$ and the same row as $y.$ This forms the aforementioned rectangle.

There are four $2 \times 2$ rectangles, two $3 \times 2$ rectangles, two $2 \times 3$ rectangles, and one $3 \times 3$ rectangle.

This gives us a total of $4 + 2 + 2 + 1 = 9$ rectangles, are arrangements for the even numbers.

There are $4!$ ways to arrange the even numbers and $5!$ ways to arrange the odd numbers.

This means that there are a total of $9 \cdot 4! \cdot 5!$ configurations of squares that satisfy the condition.

There are a total of $9!$ arrangements with no restrictions. The probability is therefore $\dfrac{9 \cdot 4! \cdot 5!}{9!} = \dfrac{1}{14}.$

Thus, B is the correct answer.

21.

Una esfera con centro $O$ tiene radio $6.$ Un triángulo con lados de longitud $15, 15,$ y $24$ está situado en el espacio de modo que cada uno de sus lados es tangente a la esfera. ¿Cuál es la distancia entre $O$ y el plano determinado por el triángulo?

A sphere with center $O$ has radius $6.$ A triangle with sides of length $15, 15,$ and $24$ is situated in space so that each of its sides is tangent to the sphere. What is the distance between $O$ and the plane determined by the triangle?

$2\sqrt{3}$

$4$

$3\sqrt{2}$

$2\sqrt{5}$

$5$

Conceptos:esfera circunferencia inscrita, incentro e inradio Teorema de Pitágoras cometa

Nivel de dificultad: 1970

Solución:

Obtenemos los siguientes diagramas tomando la sección transversal del plano del triángulo.

Observa que $AC = 9$ por el teorema de Pitágoras. También obtenemos que $\triangle ADP \sim \triangle ACB.$

Vemos que $PCBD$ es un deltoide, así que sabemos que $DB = BC = 12,$ lo que hace que $AD = 15 - 12 = 3.$ Usando los triángulos semejantes de arriba, obtenemos que $\dfrac{r}{3} = \dfrac{12}{9}$ $r = 4.$

Sea $d$ la distancia de la esfera a este plano. $d$ es también la distancia de $O$ a $P.$

$d = \sqrt{6^2 - 4^2} = 2\sqrt{5}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

We get the following diagrams by taking the cross-section of the plane of the triangle.

Note that $AC = 9$ by the Pythagorean theorem. We also get that $\triangle ADP \sim \triangle ACB.$

We can see that $PCBD$ is a kite, so we know that $DB = BC = 12,$ which makes $AD = 15 - 12 = 3.$ Using the similar triangles, above, we get that $\dfrac{r}{3} = \dfrac{12}{9}$ $r = 4.$

Let $d$ be the distance from the sphere to this plane. $d$ is also the distance from $O$ to $P.$

Once again using the Pythagorean theorem, we get that $d = \sqrt{6^2 - 4^2} = 2\sqrt{5}.$

Thus, D is the correct answer.

22.

Se eligen números reales entre $0$ y $1,$ inclusive, de la siguiente manera. Se lanza una moneda justa. Si sale cara, se lanza de nuevo y el número elegido es $0$ si el segundo lanzamiento es cara, y $1$ si el segundo lanzamiento es cruz. Por otro lado, si el primer lanzamiento es cruz, entonces el número se elige uniformemente al azar del intervalo cerrado $[0,1].$ Dos números aleatorios $x$ e $y$ se eligen de forma independiente de esta manera. ¿Cuál es la probabilidad de que $|x-y| > \tfrac{1}{2}$ ?

Real numbers between $0$ and $1,$ inclusive, are chosen in the following manner. A fair coin is flipped. If it lands heads, then it is flipped again and the chosen number is $0$ if the second flip is heads, and $1$ if the second flip is tails. On the other hand, if the first coin flip is tails, then the number is chosen uniformly at random from the closed interval $[0,1].$ Two random numbers $x$ and $y$ are chosen independently in this manner. What is the probability that $|x-y| > \tfrac{1}{2}?$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{2}{3}$

Conceptos:probabilidad geométrica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1880

Solución:

Podemos separar en casos según si $x$ e $y$ se eligen del intervalo o de $0$ y $1.$ Cada caso tiene una probabilidad de $\frac{1}{4}$ de ocurrir, ya que dependen de dos lanzamientos de moneda.

Caso $1: x$ e $y$ son $0$ o $1$

$x$ e $y$ deben ser diferentes, lo que ocurre con probabilidad $\frac{1}{2}$ .

Caso $2: x$ es $0$ o $1,$ e $y$ se elige de $[0, 1]$

Si $x = 0,$ entonces $y$ debe elegirse de $\left(\dfrac{1}{2}, 1\right],$ y si $x = 1,$ entonces $y$ debe elegirse de $\left[0, \dfrac{1}{2}\right).$

Esto significa que $y$ siempre tiene una probabilidad de $\frac{1}{2}$ de ser elegido del intervalo correcto.

Caso $3: x$ se elige de $[0, 1],$ e $y$ es $0$ o $1$

Esto tiene la misma probabilidad que el caso $2$ por simetría.

$4: x$ e $y$ se eligen de $[0, 1]$

Podemos usar probabilidad geométrica, ya que trabajamos con un número infinito de pares $(x, y)$ . Graficamos $|x - y| \gt \frac{1}{2}.$

El área sombreada cubre $\frac{1}{4}$ de la gráfica, lo que muestra que hay una probabilidad de $\frac{1}{4}$ de que este caso funcione.

Sumando todas las probabilidades, obtenemos $\begin{align*} \dfrac{1}{4}\left(3 \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\right) &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{7}{4}\\&= \dfrac{7}{16}. \end{align*}$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We can case on whether $x$ and $y$ are chosen from the interval or from $0$ and $1.$ Each case has a $\frac{1}{4}$ chance of happening, since they depend on two coin flips.

Case $1: x$ and $y$ are either $0$ or $1$

$x$ and $y$ need to be different, which happens with a $\frac{1}{2}$ probability.

Case $2: x$ is either $0$ or $1,$ and $y$ is chosen from $[0, 1]$

If $x = 0,$ then $y$ has to be chosen from $\left(\dfrac{1}{2}, 1\right],$ and if $x = 1,$ then $y$ has to be chosen from $\left[0, \dfrac{1}{2}\right).$

This means that $y$ always has a $\frac{1}{2}$ probability of being chosen from the correct interval.

Case $3: x$ is chosen from $[0, 1],$ and $y$ is either $0$ or $1$

This has the same probability as case $2$ due to symmetry.

$4: x$ and $y$ are chosen from $[0, 1]$

We can use geometric probability since we are working with an infinite number of $(x, y)$ pairs. We graph $|x - y| \gt \frac{1}{2}.$

The shaded area covers $\frac{1}{4}$ of the graph, showing that there is a $\frac{1}{4}$ probability of this case working.

Adding up all the probabilities, we get $\begin{align*} \dfrac{1}{4}\left(3 \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\right) &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{7}{4}\\&= \dfrac{7}{16}. \end{align*}$

Thus, B is the correct answer.

23.

Travis tiene que cuidar a los terribles trillizos Thompson. Sabiendo que les encantan los números grandes, Travis les inventa un juego de conteo. Primero Tadd dirá el número $1,$ luego Todd debe decir los dos números siguientes ( $2$ y $3$ ), luego Tucker debe decir los tres números siguientes ( $4,$ $5,$ $6$ ), luego Tadd debe decir los cuatro números siguientes ( $7,$ $8,$ $9,$ $10$ ), y el proceso continúa rotando entre los tres niños en orden, diciendo cada uno un número más que el niño anterior, hasta llegar al número $10,000$ . ¿Cuál es el $2019$ o número dicho por Tadd?

Travis has to babysit the terrible Thompson triplets. Knowing that they love big numbers, Travis devises a counting game for them. First Tadd will say the number $1,$ then Todd must say the next two numbers ( $2$ and $3$ ), then Tucker must say the next three numbers ( $4,$ $5,$ $6$ ), then Tadd must say the next four numbers ( $7,$ $8,$ $9,$ $10$ ), and the process continues to rotate through the three children in order, each saying one more number than the previous child did, until the number $10,000$ is reached. What is the $2019$ th number said by Tadd?

$5743$

$5885$

$5979$

$6001$

$6011$

Conceptos:sucesión aritmética número triangular sumatoria

Nivel de dificultad: 2080

Solución:

Tadd habla en turnos de longitudes $1,4,7,\ldots$ . Después de $n$ turnos de Tadd, ha dicho $\sum_{i=1}^n (3i-2)=\frac{3n^2-n}{2}$ números.

Para $n=36$ , este total es $1926$ , mientras que para $n=37$ es $2035$ . Por lo tanto, el $2019$ o número de Tadd es el $(2019-1926)=93$ o número de su $37$ o turno.

Antes de ese turno, los niños han completado turnos de longitudes $1$ hasta $108$ , diciendo $1+2+\cdots+108=5886$ números. El $93$ o número del siguiente turno es $5886+93=5979$ . Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Tadd speaks on turns of lengths $1,4,7,\ldots$ . After $n$ of Tadd\'s turns, he has said $\sum_{i=1}^n (3i-2)=\frac{3n^2-n}{2}$ numbers.

For $n=36$ , this total is $1926$ , while for $n=37$ it is $2035$ . Therefore Tadd\'s $2019$ th number is the $(2019-1926)=93$ rd number of his $37$ th turn.

Before that turn, the children have completed turns of lengths $1$ through $108$ , saying $1+2+\cdots+108=5886$ numbers. The $93$ rd number of the next turn is $5886+93=5979$ . Thus, C is the correct answer.

24.

Sean $p$ , $q$ y $r$ las raíces distintas del polinomio $x^3 - 22x^2 + 80x - 67.$ Se sabe que existen números reales $A$ , $B$ y $C$ tales que $\dfrac{1}{s^3 - 22s^2 + 80s - 67} =$ $\dfrac{A}{s-p} + \dfrac{B}{s-q} + \dfrac{C}{s-r}$ para todo $s\not\in\{p,q,r\}.$ ¿Cuánto vale $\dfrac1A+\dfrac1B+\dfrac1C$ ?

Let $p,$ $q,$ and $r$ be the distinct roots of the polynomial $x^3 - 22x^2 + 80x - 67.$ It is given that there exist real numbers $A,$ $B,$ and $C$ such that $\dfrac{1}{s^3 - 22s^2 + 80s - 67} =$ $\dfrac{A}{s-p} + \dfrac{B}{s-q} + \dfrac{C}{s-r}$ for all $s\not\in\{p,q,r\}.$ What is $\dfrac1A+\dfrac1B+\dfrac1C?$

$243$

$244$

$245$

$246$

$247$

Conceptos:fracciones parciales Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Podemos multiplicar cada lado por $(s - p)(s - q)(s - r)$ para obtener $\begin{aligned} &A(s - q)(s - r) \\ &\quad {}+ B(s - p)(s - r) \end{aligned}$ $+ C(s - p)(s - q) = 1.$

Podemos desarrollar para obtener $s^2(A + B + C) - s \cdot$ $\small (Aq + Ar + Bp + Br + Cp + Cq)$ $+ (Aqr + Bpr + Cpq - 1) = 0.$

Observa que los coeficientes de $s$ y $s^2$ deben ser ambos $0.$

De $A + B + C = 0, \tag*{(1)}$ obtenemos $A = -(B + C),$ $B = -(A + C),$ y $C = -(A + B).$

Sustituyendo esto en el coeficiente de $s,$ obtenemos $Ap + Bq + Cr = 0.$

Restando $(1) \cdot r$ de esta ecuación, obtenemos $A(p - r) + B(q - r) = 0 (2)$ También sabemos que $Aqr + Bpr + Cpq = 1.$ Restando $(1) \cdot pq$ de esta ecuación, obtenemos $Aq(r - p) + Bp(r - q) = 1.$

Sumando $(2) \cdot p$ a esta ecuación, obtenemos $A(r - p)(q - p) = 1,$ lo que nos da $A = \dfrac{1}{(r - p)(q - p)}.$

De manera similar, obtenemos $B = \dfrac{1}{(r - q)(p - q)}$ y $C = \dfrac{1}{(q - r)(p - r)}.$

Esto nos da $\dfrac{1}{A} + \dfrac{1}{B} + \dfrac{1}{C} =$ $p^2 + q^2 + r^2 - pq - qr - pr.$

Usando las fórmulas de Vieta, $p^2 + q^2 + r^2 = (p + q + r)^2 -$ $2(pq + qr + pr) = 324.$ Además, dado que $pq + qr + pr = 80,$ obtenemos el valor deseado de $324 - 80 = 244.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We can multiply each side by $(s - p)(s - q)(s - r)$ to get $\begin{aligned} &A(s - q)(s - r) \\ &\quad {}+ B(s - p)(s - r) \end{aligned}$ $+ C(s - p)(s - q) = 1.$

We can expand to get $s^2(A + B + C) - s \cdot$ $\small (Aq + Ar + Bp + Br + Cp + Cq)$ $+ (Aqr + Bpr + Cpq - 1) = 0.$

Note that the coefficients of $s$ and $s^2$ must both be $0.$

From $A + B + C = 0, \tag*{(1)}$ we get $A = -(B + C),$ $B = -(A + C),$ and $C = -(A + B).$

Plugging this into the coefficient of $s,$ we get $Ap + Bq + Cr = 0.$

Subtracting $(1) \cdot r$ from this equation, we get $A(p - r) + B(q - r) = 0 (2)$ We also know that $Aqr + Bpr + Cpq = 1.$ Subtracting $(1) \cdot pq$ from this equation, we get $Aq(r - p) + Bp(r - q) = 1.$

Adding $(2) \cdot p$ to this equation, we get $A(r - p)(q - p) = 1,$ which gets us $A = \dfrac{1}{(r - p)(q - p)}.$

Similarly, we get $B = \dfrac{1}{(r - q)(p - q)}$ and $C = \dfrac{1}{(q - r)(p - r)}.$

This gives us $\dfrac{1}{A} + \dfrac{1}{B} + \dfrac{1}{C} =$ $p^2 + q^2 + r^2 - pq - qr - pr.$

Using Vieta's formulas, we get $p^2 + q^2 + r^2 = (p + q + r)^2 -$ $2(pq + qr + pr) = 324.$ Finally, since $pq + qr + pr = 80,$ we get our desired value of $324 - 80 = 244.$

Thus, B is the correct answer.

25.

¿Para cuántos enteros $n$ entre $1$ y $50,$ inclusive, es $\dfrac{(n^2-1)!}{(n!)^n}$ un entero? (Recuerda que $0! = 1.$ )

For how many integers $n$ between $1$ and $50,$ inclusive, is $\dfrac{(n^2-1)!}{(n!)^n}$ an integer? (Recall that $0! = 1.$ )

$31$

$32$

$33$

$34$

$35$

Conceptos:factorial divisibilidad primo

Nivel de dificultad: 2150

Solución:

Un hecho que ayuda mucho en este problema es notar que $\dfrac{(n^2)!}{(n!)^{n + 1}}$ siempre es un entero.

Esto se debe a que es el número de maneras de dividir $n^2$ objetos en $n$ grupos no ordenados de tamaño $n.$

Ahora, obtenemos que $\dfrac{(n^2 - 1)!}{(n!)^n} = \dfrac{(n^2)!}{(n!)^{n + 1}} \cdot \dfrac{n!}{n^2}.$

Por lo tanto, siempre que $n^2$ divida a $n!,$ la expresión original es un entero; esto equivale a que $n$ divida a $(n - 1)!.$

Si $n$ es compuesto, mayor que $1,$ y $n\ne4,$ entonces $n\mid(n-1)!,$ así que todos esos $n$ funcionan. El caso $n=1$ también funciona directamente.

Recíprocamente, si $n=p$ es primo, el exponente de $p$ en el denominador es $p,$ mientras que su exponente en $(p^2-1)!$ es $p-1,$ así que la expresión no es un entero.

Para $n=4,$ el denominador contiene $2^{12},$ mientras que $15!$ solo contiene $2^{11},$ así que este caso también falla.

Hay $15$ primos que son a lo sumo $50,$ y sumando $4,$ obtenemos $16$ valores de $n$ que no funcionan.

Por lo tanto, la respuesta buscada es $50 - 16 = 34.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

One fact that greatly helps with this problem is realizing that $\dfrac{(n^2)!}{(n!)^{n + 1}}$ is always an integer.

This is because it is the number of ways to split up $n^2$ objects into $n$ unordered groups of size $n.$

Now, we get that $\dfrac{(n^2 - 1)!}{(n!)^n} = \dfrac{(n^2)!}{(n!)^{n + 1}} \cdot \dfrac{n!}{n^2}.$

Therefore, whenever $n^2$ divides $n!,$ the original expression is an integer; this is equivalent to $n$ dividing $(n - 1)!.$

If $n$ is composite, greater than $1,$ and $n\ne4,$ then $n\mid(n-1)!,$ so all such $n$ work. The case $n=1$ also works directly.

Conversely, if $n=p$ is prime, the exponent of $p$ in the denominator is $p,$ while its exponent in $(p^2-1)!$ is $p-1,$ so the expression is not an integer.

For $n=4,$ the denominator contains $2^{12},$ while $15!$ contains only $2^{11},$ so this case also fails.

There are $15$ primes at most $50,$ and adding $4,$ we get $16$ values for $n$ that do not work.

Therefore, the desired answer is $50 - 16 = 34.$

Thus, D is the correct answer.