Question

El mayor número primo que es divisor de $16,384$ es $2$ porque $16,384 = 2^{14}.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos del mayor número primo que es divisor de $16,383$ ?

The greatest prime number that is a divisor of $16,384$ is $2$ because $16,384 = 2^{14}.$ What is the sum of the digits of the greatest prime number that is a divisor of $16,383?$

$3$

$7$

$10$

$16$

$22$

Solución:

Sabemos que $\begin{align*}16,383 &= 16384-1 \\&= 2^{14}-1 \\&= (2^7-1)(2^7+1) \\&= 127\cdot 129.\end{align*}$ Como $129=3\cdot 43,$ obtenemos $16383 = 3\cdot 43\cdot 127.$ Por lo tanto, $127$ es el mayor factor primo, y la suma de sus dígitos es $10.$

Por lo tanto, la respuesta es C.

We know $\begin{align*}16,383 &= 16384-1 \\&= 2^{14}-1 \\&= (2^7-1)(2^7+1) \\&= 127\cdot 129.\end{align*}$ Since $129=3\cdot 43,$ we get $16383 = 3\cdot 43\cdot 127.$ Therefore, $127$ is the largest prime factor, and the sum of its digits is $10.$

Thus, the answer is C .

2021 AMC 10B Fall Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años