Question

Llamamos a una fracción $\frac{a}{b},$ no necesariamente en su forma más simple, “especial” si $a$ y $b$ son enteros positivos cuya suma es $15.$ ¿Cuántos enteros distintos se pueden escribir como la suma de dos fracciones especiales, no necesariamente diferentes?

Call a fraction $\frac{a}{b},$ not necessarily in the simplest form, ''special'' if $a$ and $b$ are positive integers whose sum is $15.$ How many distinct integers can be written as the sum of two, not necessarily different, special fractions?

$\ 9$

$\ 10$

$\ 11$

$\ 12$

$\ 13$

Solución:

Una fracción especial con denominador $b$ es igual a $\frac{15-b}{b}=\frac{15}{b}-1$ , donde $1\le b\le14$ . Necesitamos valores enteros de $\frac{15}{x}+\frac{15}{y}-2$ .

Al revisar los posibles denominadores según su parte fraccionaria se obtienen las sumas enteras distintas $1,2,3,4,6,7,8,13,16,18,28.$

Hay $11$ enteros de este tipo.

Por lo tanto, la respuesta es C.

A special fraction with denominator $b$ equals $\frac{15-b}{b}=\frac{15}{b}-1$ , where $1\le b\le14$ . We need integer values of $\frac{15}{x}+\frac{15}{y}-2$ .

Checking the possible denominators by fractional part gives the distinct integer sums $1,2,3,4,6,7,8,13,16,18,28.$

There are $11$ such integers.

Thus, the answer is C .

2021 AMC 10B Fall Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años