Question

El menor entero positivo con exactamente $2021$ divisores positivos distintos se puede escribir en la forma $m \cdot 6^k,$ donde $m$ y $k$ son enteros y $6$ no es divisor de $m.$ ¿Cuánto vale $m+k$ ?

The least positive integer with exactly $2021$ distinct positive divisors can be written in the form $m \cdot 6^k,$ where $m$ and $k$ are integers and $6$ is not a divisor of $m.$ What is $m+k?$

$47$

$58$

$59$

$88$

$90$

Solución:

Antes de comenzar, notemos que si podemos representar la factorización prima de un entero $z$ como $z=p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots,$ entonces hay $(e_1+1)(e_2+1) \cdots$ factores positivos distintos.

Si el número en cuestión tiene $2021$ factores, por la lógica anterior, $2021=(e_1+1)(e_2+1) \cdots,$ y como la factorización prima de $2021 = 43\cdot 47,$ entonces nuestro número debe ser $p_1^{46}p_2^{42}$ o $p^{2020}.$

El número más pequeño que podemos formar de cualquiera de estas maneras se obtiene tomando $p_1 = 2,p_2=3$ en la primera configuración, lo que da $2^{46}3^{42} = 16\cdot 6^{42} .$

Por lo tanto, $m=16$ $k=42,$ así que $m+k = 42+16 = 58.$

Por lo tanto, la respuesta es B.

Before starting, note that if we can represent the prime factorization of an integer $z$ as $z=p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots,$ then there are $(e_1+1)(e_2+1) \cdots$ distinct positive factors.

If the number in question has $2021$ factors, by the previous logic, $2021=(e_1+1)(e_2+1) \cdots,$ and as the prime factorization of $2021 = 43\cdot 47,$ then our number must be $p_1^{46}p_2^{42}$ or $p^{2020}.$

The smallest number we can make in either of these is making $p_1 = 2,p_2=3$ in the first configuration, yielding $2^{46}3^{42} = 16\cdot 6^{42} .$

Therefore, $m=16$ $k=42,$ so $m+k = 42+16 = 58.$

Thus, the answer is B .

2021 AMC 10B Fall Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años