Question

Ximena escribe los números enteros del $1$ al $30$ una vez cada uno. Emilio copia los números de Ximena, reemplazando cada aparición del dígito $2$ por el dígito $1$ . Ximena suma sus números y Emilio suma los suyos. ¿Cuánto mayor es la suma de Ximena que la de Emilio?

Ximena lists the whole numbers $1$ through $30$ once. Emilio copies Ximena's numbers, replacing each occurrence of the digit $2$ by the digit $1.$ Ximena adds her numbers and Emilio adds his numbers. How much larger is Ximena's sum than Emilio's?

$13$

$26$

$102$

$103$

$110$

Solución:

Cuando Emilio cambia un dígito de las unidades $2$ por $1$ , su número copiado es menor en $1$ . Esto ocurre en $2,12,22$ , para una pérdida de $3$ .

Cuando cambia un dígito de las decenas $2$ por $1$ , su número copiado es menor en $10$ . Esto ocurre para $20,21,\ldots,29$ , para una pérdida de $100$ .

Por lo tanto, la suma de Emilio es $103$ menor que la de Ximena, así que la suma de Ximena es $103$ mayor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

When Emilio changes a units digit $2$ to $1$ , his copied number is smaller by $1$ . This happens in $2,12,22$ , for a loss of $3$ .

When he changes a tens digit $2$ to $1$ , his copied number is smaller by $10$ . This happens for $20,21,\ldots,29$ , for a loss of $100$ .

Thus Emilio's sum is $103$ less than Ximena's sum, so Ximena's sum is $103$ larger.

Thus, the correct answer is D.

2016 AMC 10A Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años