Question

Sean $P(n)$ y $S(n)$ el producto y la suma, respectivamente, de los dígitos del entero $n.$ Por ejemplo, $P(23)=6$ y $S(23)=5.$ Supongamos que $N$ es un número de dos dígitos tal que $N=P(N)+S(N).$ ¿Cuál es el dígito de las unidades de $N$ ?

Let $P(n)$ and $S(n)$ denote the product and the sum, respectively, of the digits of the integer $n.$ For example, $P(23)=6$ and $S(23)=5.$ Suppose $N$ is a two-digit number such that $N=P(N)+S(N).$ What is the units digit of $N?$

$2$

$3$

$6$

$8$

$9$

Solución:

Escribimos $N=10a+b.$ Entonces $P(N)=ab$ y $S(N)=a+b,$ así que $10a+b=ab+a+b.$ Esto se reduce a $9a=ab,$ y como $a\ne0,$ obtenemos $b=9.$

El dígito de las unidades es $9.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Write $N=10a+b.$ Then $P(N)=ab$ and $S(N)=a+b,$ so $10a+b=ab+a+b.$ This reduces to $9a=ab,$ and since $a\ne0,$ we get $b=9.$

The units digit is $9.$ Thus, the correct answer is E.

2001 AMC 10 Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años