Question

Define $x \heartsuit y$ como $|x - y|$ para todos los números reales $x$ y $y.$ ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera?

Define $x \heartsuit y$ to be $|x - y|$ for all real numbers $x$ and $y.$ Which of the following statements is not true?

$x \heartsuit y = y \heartsuit x$ para todo $x$ y $y$

$x \heartsuit y = y \heartsuit x$ for all $x$ and $y$

$2(x \heartsuit y) = (2x) \heartsuit (2y)$ para todo $x$ y $y$

$2(x \heartsuit y) = (2x) \heartsuit (2y)$ for all $x$ and $y$

$x \heartsuit 0 = x$ para todo $x$

$x \heartsuit 0 = x$ for all $x$

$x \heartsuit x = 0$ para todo $x$

$x \heartsuit x = 0$ for all $x$

$x \heartsuit y \gt 0$ si $x \ne y$

$x \heartsuit y \gt 0$ if $x \ne y$

Solución:

La afirmación (C) sostiene que $x \heartsuit 0 = x,$ pero $x \heartsuit 0 = |x - 0| = |x|,$ lo cual falla para valores negativos de $x.$ Por ejemplo, $-1 \heartsuit 0 = 1 \ne -1.$

Las demás afirmaciones se deducen directamente de las propiedades del valor absoluto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Statement (C) claims $x \heartsuit 0 = x,$ but $x \heartsuit 0 = |x - 0| = |x|,$ which fails for negative $x.$ For example, $-1 \heartsuit 0 = 1 \ne -1.$

The remaining statements all follow directly from the properties of absolute value.

Thus, the correct answer is C.

2003 AMC 10A Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años