Question

Una caja contiene $5$ fichas, numeradas $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ y $5.$ Se extraen fichas al azar una a la vez sin reemplazo hasta que la suma de los valores extraídos supere $4.$ ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten $3$ extracciones?

A box contains $5$ chips, numbered $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ and $5.$ Chips are drawn randomly one at a time without replacement until the sum of the values drawn exceeds $4.$ What is the probability that $3$ draws are required?

$\dfrac{1}{15}$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

Respuesta: D

Conceptos:muestreo sin reemplazo probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Se necesita una tercera extracción exactamente cuando las dos primeras fichas siguen sumando a lo sumo $4$ .

A third draw is needed exactly when the first two chips still sum to at most $4$

Pista grande:

¿Qué pares de fichas distintas suman $4$ o menos? Cuéntalos entre todos los resultados ordenados de las dos primeras extracciones.

Which pairs of distinct chips sum to $4$ or less? Count them among all ordered first-two-draw outcomes

Solución:

Necesitamos una tercera extracción exactamente cuando las dos primeras fichas todavía suman $4$ o menos. Los únicos pares no ordenados así son $\{1,2\}$ y $\{1,3\}.$ Cada uno puede extraerse en cualquiera de los dos órdenes, lo que da $4$ prefijos ordenados favorables.

Imagina que de antemano se fija un orden aleatorio completo de las cinco fichas. Entonces los $5\cdot4=20$ prefijos ordenados de dos fichas son igualmente probables, incluso cuando el proceso real se detendría después de la primera ficha. Así, la probabilidad es $\frac{4}{20}=\frac{1}{5}.$ Por lo tanto, la respuesta es D.

We need a third draw exactly when the first two chips still sum to $4$ or less. The only such unordered pairs are $\{1,2\}$ and $\{1,3\}.$ Each can be drawn in either order, giving $4$ favorable ordered prefixes.

Imagine that a complete random ordering of all five chips is chosen in advance. Then all $5\cdot4=20$ ordered first-two-chip prefixes are equally likely, even when the actual process would stop after the first chip. Thus the probability is $\frac{4}{20}=\frac{1}{5}.$ Therefore, the answer is D.

2018 AMC 10B Problema 6

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años