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2019 AMC 10B Problema 6

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 6 del 2019 AMC 10B, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2019 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:factorialmanipulación algebraicadígitos

Nivel de dificultad: 1190

6.

Un entero positivo nn satisface la ecuación (n+1)!+(n+2)!=n!⋅440.(n+1)! + (n+2)! = n! \cdot 440. ¿Cuál es la suma de los dígitos de nn?

A positive integer nn satisfies the equation (n+1)!+(n+2)!=n!⋅440.(n+1)! + (n+2)! = n! \cdot 440. What is the sum of the digits of n?n?

3 3

8 8

10 10

11 11

12 12

Solución:

Podemos reescribir el lado izquierdo como (n+1)n!+(n+2)(n+1)n!(n+1)n!+(n+2)(n+1)n!=((n+2)2−1)n!,=((n+2)^2-1)n!, así que ((n+2)2−1)n!=440n!((n+2)^2-1) n! = 440 n! Por lo tanto, (n+2)2=441,(n+2)^2=441, de modo que n=19.n=19. La suma de sus dígitos es 10.10.

Así, la respuesta es C.

We can rewrite the left side as (n+1)n!+(n+2)(n+1)n!(n+1)n!+(n+2)(n+1)n!=((n+2)2−1)n!,=((n+2)^2-1)n!, so ((n+2)2−1)n!=440n!((n+2)^2-1) n! = 440 n! Therefore, (n+2)2=441,(n+2)^2=441, so n=19.n=19. The sum of its digits is 10.10.

Thus, the answer is C .

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