Question

El triángulo $ABC$ está en el primer cuadrante. Los puntos $A,$ $B,$ y $C$ se reflejan respecto a la recta $y=x$ en los puntos $A',$ $B',$ y $C',$ respectivamente. Supón que ninguno de los vértices del triángulo está sobre la recta $y=x.$ ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no siempre es verdadera?

Triangle $ABC$ lies in the first quadrant. Points $A,$ $B,$ and $C$ are reflected across the line $y=x$ to points $A',$ $B',$ and $C',$ respectively. Assume that none of the vertices of the triangle lie on the line $y=x.$ Which of the following statements is not always true?

El triángulo $A'B'C'$ está en el primer cuadrante.

Triangle $A'B'C'$ lies in the first quadrant.

Los triángulos $ABC$ y $A'B'C'$ tienen la misma área.

Triangles $ABC$ and $A'B'C'$ have the same area.

La pendiente de la recta $AA'$ es $-1.$

The slope of line $AA'$ is $-1.$

Las pendientes de las rectas $AA'$ y $CC'$ son iguales.

The slopes of lines $AA'$ and $CC'$ are the same.

Las rectas $AB$ y $A'B'$ son perpendiculares entre sí.

Lines $AB$ and $A'B'$ are perpendicular to each other.

Solución:

La opción A debe ser verdadera, ya que la reflexión del primer cuadrante es él mismo, así que todo lo que está dentro permanece dentro tras una reflexión.

La opción B debe ser verdadera, ya que una reflexión conserva la misma área.

La opción C debe ser verdadera, ya que la recta que une un punto con su reflexión es perpendicular al eje de reflexión, así que su pendiente es $-\frac 11 = -1.$

La opción D debe ser verdadera, ya que ambas tienen pendiente $-1.$

La opción E puede ser falsa: por ejemplo, si $A = (2,1),$ $B=(3,2),$ entonces $AB$ y su reflexión tienen ambas pendiente $1,$ lo que las hace paralelas. Por lo tanto, pueden no ser perpendiculares.

Así, la respuesta es E.

Choice A must be true since the reflection of the first quadrant is itself, so anything inside stays inside after a reflection.

Choice B must be true as a reflection keeps the same area.

Choice C must be true as a reflection will have a perpendicular slope to the line its reflected about, so its slope is $-\frac 11 = -1.$

Choice D must be true as they both have the slope of $-1.$

Choice E can be false as if $A = (2,1),$ $B=(3,2),$ then $AB$ and its reflection both have slope $1,$ making them parallel. Therefore, they can be not perpendicular.

Thus, the answer is E .

2019 AMC 10B Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años