Question

En la siguiente expresión, Melanie cambió algunos de los signos más por signos menos:

$1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + 97 + 99$

Cuando se evaluó la nueva expresión, resultó negativa. ¿Cuál es el menor número de signos más que Melanie pudo haber cambiado por signos menos?

In the following expression, Melanie changed some of the plus signs to minus signs:

$1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + 97 + 99$

When the new expression was evaluated, it was negative. What is the least number of plus signs that Melanie could have changed to minus signs?

$14$

$15$

$16$

$17$

$18$

Solución:

La suma completa es $1 + 3 + \cdots + 99 = 50^2 = 2500.$ Cambiar el signo de un término $t$ baja el total en $2t,$ así que para volverse negativo los términos cambiados deben sumar más de $1250.$ La jugada codiciosa es cambiar los números impares más grandes: cambiar los $k$ mayores da $99 + 97 + \cdots = k(100 - k).$ Queremos $k(100 - k) \gt 1250.$ En $k = 14$ es solo $1204,$ pero en $k = 15$ salta a $1275.$ Así que $15$ cambios lo logran. Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The full sum is $1 + 3 + \cdots + 99 = 50^2 = 2500.$ Flipping a term $t$ drops the total by $2t,$ so to go negative the flipped terms have to add up to more than $1250.$ The greedy move is to flip the biggest odd numbers: flipping the top $k$ gives $99 + 97 + \cdots = k(100 - k).$ We want $k(100 - k) \gt 1250.$ At $k = 14$ it's only $1204,$ but at $k = 15$ it jumps to $1275.$ So $15$ flips do it. Thus, B is the correct answer.

2024 AMC 10B Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años