Question

¿Cuántos dígitos tiene la representación en base diez de $8^5 \cdot 5^{10} \cdot 15^5$ ?

How many digits are in the base-ten representation of $8^5 \cdot 5^{10} \cdot 15^5?$

$14$

$15$

$16$

$17$

$18$

Solución:

Factoriza todo en primos: $8^5 \cdot 5^{10} \cdot 15^5$ $= 2^{15} \cdot 5^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^5$ $= 2^{15} \cdot 5^{15} \cdot 3^5$ $= 10^{15} \cdot 243.$ Eso es $243$ seguido de $15$ ceros, así que tiene $3 + 15 = 18$ dígitos. Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Factor everything into primes. $8^5 \cdot 5^{10} \cdot 15^5$ $= 2^{15} \cdot 5^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^5$ $= 2^{15} \cdot 5^{15} \cdot 3^5$ $= 10^{15} \cdot 243.$ That's $243$ followed by $15$ zeros, so it has $3 + 15 = 18$ digits. Thus, E is the correct answer.

2023 AMC 10A Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años