Question

Considera la sucesión de enteros positivos

$\begin{gathered} 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, \\ 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, \\ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, \\ 1, 2, \ldots \end{gathered}$

¿Cuál es el término número $2025$ de esta sucesión?

Consider the sequence of positive integers

$\begin{gathered} 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, \\ 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, \\ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, \\ 1, 2, \ldots \end{gathered}$

What is the $2025$ th term in this sequence?

$5$

$15$

$16$

$44$

$45$

Solución:

Agrupa la sucesión en bloques. El bloque $k$ es $k, k-1, \ldots, 2, 1, 2, \ldots, k-1, k,$ que tiene $2k - 1$ términos y termina en $k.$ Así que después del bloque $k$ hemos usado $1 + 3 + \cdots + (2k-1) = k^2$ términos. Observa que $2025 = 45^2.$ Eso es exactamente el final del bloque $45,$ cuyo último término es $45.$ Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Group the sequence into blocks. Block $k$ reads $k, k-1, \ldots, 2, 1, 2, \ldots, k-1, k,$ which is $2k - 1$ terms and ends on $k.$ So after block $k$ we've used $1 + 3 + \cdots + (2k-1) = k^2$ terms. Notice $2025 = 45^2.$ That's exactly the end of block $45,$ whose last term is $45.$ Thus, E is the correct answer.

2025 AMC 10A Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años