Question

Considera la sucesión de enteros positivos

\begin{gathered} 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, \\ 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, \\ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, \\ 1, 2, \ldots \end{gathered}

¿Cuál es el término número

2025

de esta sucesión?

Consider the sequence of positive integers

\begin{gathered} 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, \\ 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, \\ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, \\ 1, 2, \ldots \end{gathered}

What is the

2025

th term in this sequence?

5

15

16

44

45

Respuesta: E

Conceptos:reconocimiento de patrones cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

La sucesión sube desde

1

hasta un pico y vuelve a bajar; agrúpala en bloques según el valor del pico.

The sequence rises from

1

up to a peak and falls back; group it into blocks by peak value

Pista grande:

El bloque cuyo pico es

k

tiene

2k-1

términos y termina en la posición acumulada

k^2

.

The block that peaks at

k

has

2k-1

terms and ends at cumulative position

k^2

Solución:

Agrupa la sucesión en bloques. El bloque

k

es

k, k-1, \ldots, 2, 1, 2, \ldots, k-1, k,

que tiene

2k - 1

términos y termina en

k.

Así que después del bloque

k

hemos usado

1 + 3 + \cdots + (2k-1) = k^2

términos. Observa que

2025 = 45^2.

Eso es exactamente el final del bloque

45,

cuyo último término es

45.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Group the sequence into blocks. Block

k

reads

k, k-1, \ldots, 2, 1, 2, \ldots, k-1, k,

which is

2k - 1

terms and ends on

k.

So after block

k

we’ve used

1 + 3 + \cdots + (2k-1) = k^2

terms. Notice

2025 = 45^2.

That’s exactly the end of block

45,

whose last term is

45.

Thus, E is the correct answer.

2025 AMC 10A Problema 5

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años