Question

¿Cuál es el valor de $\frac{\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac15\right)\left(1+\frac17\right)}{\sqrt{\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{5^2}\right)\left(1-\frac{1}{7^2}\right)}}$ ?

What is the value of $\frac{\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac15\right)\left(1+\frac17\right)}{\sqrt{\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{5^2}\right)\left(1-\frac{1}{7^2}\right)}}?$

$\sqrt3$

$2$

$\sqrt{15}$

$4$

$\sqrt{105}$

Solución:

Trabajemos primero con el denominador. Usando la diferencia de cuadrados en cada término, obtenemos el denominador como $\sqrt{(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{5^2})(1-\frac{1}{7^2})}$ $=\sqrt{(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})(1-\frac{1}{7})}$ $\cdot\sqrt{(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{5})(1+\frac{1}{7})}$ $=\sqrt{ (\frac 23)(\frac 45)(\frac 67) } \sqrt{ (\frac 43)(\frac 65)(\frac 87) }.$

Además, simplificamos el numerador de la siguiente manera: $(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{5})(1+\frac{1}{7})$ $= (\frac 43)(\frac 65)(\frac 87) .$

Al dividir el numerador entre el denominador se obtiene $\begin{align*}&\frac{(\frac 43)(\frac 65)(\frac 87)}{\sqrt{ (\frac 23)(\frac 45)(\frac 67) } \sqrt{ (\frac 43)(\frac 65)(\frac 87) }} \\&=\frac{\sqrt{ (\frac 43)(\frac 65)(\frac 87) }} {\sqrt{ (\frac 23)(\frac 45)(\frac 67) }} \\&= \frac{\sqrt 8 } { \sqrt 2} \\&= 2.\end{align*}$

Así, la respuesta es B.

Lets work with the denominator first. By using difference of two squares on each term, we get the denominator as $\sqrt{(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{5^2})(1-\frac{1}{7^2})}$ $=\sqrt{(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})(1-\frac{1}{7})}$ $\cdot\sqrt{(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{5})(1+\frac{1}{7})}$ $=\sqrt{ (\frac 23)(\frac 45)(\frac 67) } \sqrt{ (\frac 43)(\frac 65)(\frac 87) }.$

Furthermore, we simplify the numerator as follows: $(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{5})(1+\frac{1}{7})$ $= (\frac 43)(\frac 65)(\frac 87) .$

Dividing the numerator and denominator yields $\begin{align*}&\frac{(\frac 43)(\frac 65)(\frac 87)}{\sqrt{ (\frac 23)(\frac 45)(\frac 67) } \sqrt{ (\frac 43)(\frac 65)(\frac 87) }} \\&=\frac{\sqrt{ (\frac 43)(\frac 65)(\frac 87) }} {\sqrt{ (\frac 23)(\frac 45)(\frac 67) }} \\&= \frac{\sqrt 8 } { \sqrt 2} \\&= 2.\end{align*}$

Thus, the answer is B .

2022 AMC 10B Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años