Question

¿Cuál es el valor de

\frac{\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac15\right)\left(1+\frac17\right)}{\sqrt{\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{5^2}\right)\left(1-\frac{1}{7^2}\right)}}?

What is the value of

\frac{\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac15\right)\left(1+\frac17\right)}{\sqrt{\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{5^2}\right)\left(1-\frac{1}{7^2}\right)}}?

\sqrt3

2

\sqrt{15}

4

\sqrt{105}

Reescribe cada factor bajo la raíz cuadrada como el producto de dos fracciones cercanas.

Rewrite each square-root factor as a product of two nearby fractions

Empareja cada factor del numerador con el factor correspondiente bajo la raíz cuadrada.

Pair each factor in the numerator with the matching factor under the square root

Sea

E

la expresión positiva dada. Al elevarla al cuadrado y usar

1-\frac{1}{p^2}=(1-\frac{1}{p})(1+\frac{1}{p})

, obtenemos

\begin{aligned} E^2&=\prod_{p\in\{3,5,7\}}\frac{1+\frac{1}{p}}{1-\frac{1}{p}}\\ &=\frac42\cdot\frac64\cdot\frac86=4. \end{aligned}

Por tanto,

E=2.

Así, la respuesta es B.

Let the given positive expression be

E.

Squaring it and using

1-\frac{1}{p^2}=(1-\frac{1}{p})(1+\frac{1}{p})

gives

\begin{aligned} E^2&=\prod_{p\in\{3,5,7\}}\frac{1+\frac{1}{p}}{1-\frac{1}{p}}\\ &=\frac42\cdot\frac64\cdot\frac86=4. \end{aligned}

Hence

E=2.

Thus, the answer is B .