Question

En $\triangle ABC,$ $AB = 10,$ $AC = 18,$ y $\angle B = 130^\circ.$ Sea $O$ el centro del círculo que contiene los puntos $A,$ $B,$ y $C.$ ¿Cuál es la medida en grados de $\angle CAO$ ?

In $\triangle ABC,$ $AB = 10,$ $AC = 18,$ and $\angle B = 130^\circ.$ Let $O$ be the center of the circle containing points $A,$ $B,$ and $C.$ What is the degree measure of $\angle CAO?$

$20$

$30$

$40$

$50$

$60$

Solución:

Como $O$ es el circuncentro, $OA = OB = OC.$ El ángulo inscrito $\angle B = 130^\circ$ subtiende el arco $AC,$ y como $B$ es obtuso, el ángulo central es $\angle AOC = 360^\circ$ $- 2 \cdot 130^\circ = 100^\circ.$ El triángulo $OAC$ es isósceles, así que $\angle CAO = \tfrac{180^\circ - 100^\circ}{2} = 40^\circ.$ (Las longitudes $AB$ y $AC$ nunca intervienen.) Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since $O$ is the circumcenter, $OA = OB = OC.$ The inscribed angle $\angle B = 130^\circ$ subtends arc $AC,$ and because $B$ is obtuse, the central angle is $\angle AOC = 360^\circ$ $- 2 \cdot 130^\circ = 100^\circ.$ Triangle $OAC$ is isosceles, so $\angle CAO = \tfrac{180^\circ - 100^\circ}{2} = 40^\circ.$ (The lengths $AB$ and $AC$ never enter.) Thus, C is the correct answer.

2025 AMC 10B Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años