Question

El valor del número de dos dígitos $\underline{a}\,\underline{b}$ en base siete es igual al valor del número de dos dígitos $\underline{b}\,\underline{a}$ en base nueve. ¿Cuánto vale $a + b$ ?

The value of the two-digit number $\underline{a}\,\underline{b}$ in base seven equals the value of the two-digit number $\underline{b}\,\underline{a}$ in base nine. What is $a + b?$

$7$

$9$

$10$

$11$

$14$

Solución:

Por el valor posicional, $\underline{a}\,\underline{b}$ en base siete es $7a + b,$ y $\underline{b}\,\underline{a}$ en base nueve es $9b + a.$ Igualándolos: $7a + b = 9b + a,$ así que $6a = 8b,$ es decir $3a = 4b.$ Los dígitos deben encajar, con $a \le 6$ y $b \le 8,$ y el único par que funciona es $a = 4, b = 3.$ Así que $a + b = 7.$ Por lo tanto, la respuesta es A.

By place value, $\underline{a}\,\underline{b}$ in base seven is $7a + b,$ and $\underline{b}\,\underline{a}$ in base nine is $9b + a.$ Set them equal: $7a + b = 9b + a,$ so $6a = 8b,$ that is $3a = 4b.$ The digits have to fit, with $a \le 6$ and $b \le 8,$ and the only pair that works is $a = 4, b = 3.$ So $a + b = 7.$ Therefore, the answer is A.

2025 AMC 10B Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años