Question

Todas las rectas con ecuación

ax+by=c

tales que

a,

b,

c

forman una progresión aritmética pasan por un punto común. ¿Cuáles son las coordenadas de ese punto?

All lines with equation

ax+by=c

such that

a,

b,

c

form an arithmetic progression pass through a common point. What are the coordinates of that point?

(-1,2)

(0,1)

(1,-2)

(1,0)

(1,2)

Respuesta: A

Conceptos:ecuación lineal sucesión aritmética geometría analítica

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Escribe

b=a+d

y

c=a+2d

.

Write

b=a+d

and

c=a+2d

Pista grande:

La ecuación debe cumplirse para cualquier posible

a

y

d

.

The equation must hold for every possible

a

and

d

Solución:

Sea

d=b-a.

Entonces

(a,b,c)= (a,a+d,a+2d).

Por tanto,

ax+(a+d)y=a+2d.

Al igualar las partes que corresponden a

a

y a

d,

obtenemos

ax+ay=a

y

dy=2d

para todos

a,d.

Por consiguiente,

y=2,x+y=1

lo que implica

x=-1.

Así se obtiene el par

(-1,2).

La respuesta es A.

Let

d=b-a.

Then, we have

(a,b,c)= (a,a+d,a+2d).

Thus,

ax+(a+d)y=a+2d.

If we match the parts of

a

and

d,

we get

ax+ay=a

and

dy=2d

for all

a,d.

Therefore, we have

y=2,x+y=1

implying that

x=-1.

This makes the pair

(-1,2).

Thus, the answer is A .

2019 AMC 10B Problema 4

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años