Question

Todas las rectas con ecuación $ax+by=c$ tales que $a,b,c$ forman una progresión aritmética pasan por un punto común. ¿Cuáles son las coordenadas de ese punto?

All lines with equation $ax+by=c$ such that $a,b,c$ form an arithmetic progression pass through a common point. What are the coordinates of that point?

$(-1,2)$

$(0,1)$

$(1,-2)$

$(1,0)$

$(1,2)$

Solución:

Sea $d=b-a.$

Entonces tenemos $(a,b,c)= (a,a+d,a+2d).$ Por lo tanto, $ax+(a+d)y=a+2d.$ Si igualamos las partes que corresponden a $a$ y a $d,$ obtenemos $ax+ay=a$ y $dy=2d$ para todo $a,d.$ Por lo tanto, tenemos $y=2,x+y=1$ lo que implica que $x=-1.$ Esto da el par $(-1,2).$

Así, la respuesta es A.

Let $d=b-a.$

Then, we have $(a,b,c)= (a,a+d,a+2d).$ Thus, $ax+(a+d)y=a+2d.$ If we match the parts of $a$ and $d,$ we get $ax+ay=a$ and $dy=2d$ for all $a,d.$ Therefore, we have $y=2,x+y=1$ implying that $x=-1.$ This makes the pair $(-1,2).$

Thus, the answer is A .

2019 AMC 10B Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años