Question

所有方程为 $ax+by=c$ 且 $a$ ， $b$ ， $c$ 构成等差数列的直线都经过同一个点。这个点的坐标是什么？

All lines with equation $ax+by=c$ such that $a,$ $b,$ $c$ form an arithmetic progression pass through a common point. What are the coordinates of that point?

$(-1,2)$

$(0,1)$

$(1,-2)$

$(1,0)$

$(1,2)$

答案：A

知识点：一次方程等差数列坐标几何

难度评级：1220

小提示：

写成 $b=a+d$ ， $c=a+2d$ 。

Write $b=a+d$ and $c=a+2d$

大提示：

方程必须对所有可能的 $a$ 和 $d$ 都成立。

The equation must hold for every possible $a$ and $d$

解答：

令 $d=b-a$ 。

于是 $(a,b,c)= (a,a+d,a+2d)\text{。}$ 因此 $ax+(a+d)y=a+2d\text{。}$ 分别比较 $a$ 和 $d$ 的部分，可得 $ax+ay=a$ 以及 $dy=2d$ 对所有 $a,d$ 都成立。所以 $y=2,x+y=1$ 从而 $x=-1\text{。}$ 公共点为 $(-1,2)$ 。

所以答案是 A。

Let $d=b-a.$

Then, we have $(a,b,c)= (a,a+d,a+2d).$ Thus, $ax+(a+d)y=a+2d.$ If we match the parts of $a$ and $d,$ we get $ax+ay=a$ and $dy=2d$ for all $a,d.$ Therefore, we have $y=2,x+y=1$ implying that $x=-1.$ This makes the pair $(-1,2).$

Thus, the answer is A .

2019 AMC 10B 第 4 题

答案：A

难度评级：1220

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 4 题