Question

三角形 $ABC$ 位于第一象限。点 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 关于直线 $y=x$ 的对称点分别为 $A'$ 、 $B'$ 和 $C'$ 。假设三角形的顶点都不在直线 $y=x$ 上。下列哪一项不一定总为真？

Triangle $ABC$ lies in the first quadrant. Points $A,$ $B,$ and $C$ are reflected across the line $y=x$ to points $A',$ $B',$ and $C',$ respectively. Assume that none of the vertices of the triangle lie on the line $y=x.$ Which of the following statements is not always true?

三角形 $A'B'C'$ 位于第一象限。

Triangle $A'B'C'$ lies in the first quadrant.

三角形 $ABC$ 与 $A'B'C'$ 面积相同。

Triangles $ABC$ and $A'B'C'$ have the same area.

直线 $AA'$ 的斜率为 $-1$ 。

The slope of line $AA'$ is $-1.$

直线 $AA'$ 与 $CC'$ 的斜率相同。

The slopes of lines $AA'$ and $CC'$ are the same.

直线 $AB$ 与 $A'B'$ 互相垂直。

Lines $AB$ and $A'B'$ are perpendicular to each other.

答案：E

知识点：变换坐标几何斜率

难度评级：1020

小提示：

关于 $y=x$ 的反射会保持第一象限和面积。

Reflections preserve area and the first quadrant across $y=x$

大提示：

用一条斜率为 $1$ 的简单线段测试关于 $AB$ 的说法。

Test the claim about $AB$ with a simple segment of slope $1$

解答：

关于 $y=x$ 的反射把 $(x,y)$ 映为 $(y,x)$ 。因此它既保持第一象限，也保持面积，所以选项 A 和 B 必为真。

从 $(x,y)$ 指向它的像 $(y,x)$ 的方向向量是 $(y-x,x-y)$ ，由于 $x\ne y$ ，它的斜率为 $-1$ 。因此选项 C 和 D 也必为真。

对于选项 E，取 $A=(2,1)$ 、 $B=(3,2)$ 和 $C=(4,1)$ 。这些点满足全部条件，但 $AB$ 和 $A'B'$ 的斜率都是 $1$ ，所以这两条直线平行而不是垂直。

所以正确答案是 E。

Reflection across $y=x$ sends $(x,y)$ to $(y,x)$ . It therefore preserves the first quadrant and preserves area, so A and B are always true.

The direction from $(x,y)$ to its image $(y,x)$ is $(y-x,x-y)$ , whose slope is $-1$ because $x\ne y$ . Thus C and D are always true as well.

For E, take $A=(2,1)$ , $B=(3,2)$ , and $C=(4,1)$ . These points satisfy all the conditions, but $AB$ and $A'B'$ both have slope $1$ , so the two lines are parallel rather than perpendicular.

Thus, the answer is E .

2019 AMC 10B 第 5 题

答案：E

难度评级：1020

小提示：

大提示：

解答：

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