Question

求下式的值： $\frac{\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac15\right)\left(1+\frac17\right)}{\sqrt{\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{5^2}\right)\left(1-\frac{1}{7^2}\right)}}\text{？}$

What is the value of $\frac{\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac15\right)\left(1+\frac17\right)}{\sqrt{\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{5^2}\right)\left(1-\frac{1}{7^2}\right)}}?$

$\sqrt3$

$2$

$\sqrt{15}$

$4$

$\sqrt{105}$

答案：B

知识点：平方差根式

难度评级：1280

小提示：

把每个平方根因子改写成相邻两个分数的乘积。

Rewrite each square-root factor as a product of two nearby fractions

大提示：

分子中的因子会和根号里的对应因子配对。

Pair each factor in the numerator with the matching factor under the square root

解答：

设题中正数表达式为 $E$ 。将它平方，并利用 $1-\frac{1}{p^2}=(1-\frac{1}{p})(1+\frac{1}{p})$ ，可得 $\begin{aligned} E^2&=\prod_{p\in\{3,5,7\}}\frac{1+\frac{1}{p}}{1-\frac{1}{p}}\\ &=\frac42\cdot\frac64\cdot\frac86=4 \end{aligned}\text{。}$ 因为这个表达式为正数，所以 $E=2$ 。

所以正确答案是 B。

Let the given positive expression be $E.$ Squaring it and using $1-\frac{1}{p^2}=(1-\frac{1}{p})(1+\frac{1}{p})$ gives $\begin{aligned} E^2&=\prod_{p\in\{3,5,7\}}\frac{1+\frac{1}{p}}{1-\frac{1}{p}}\\ &=\frac42\cdot\frac64\cdot\frac86=4. \end{aligned}$ Hence $E=2.$

Thus, the answer is B .

2022 AMC 10B 第 5 题

答案：B

难度评级：1280

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 5 题