Question

正整数 $n$ 满足方程 $(n+1)! + (n+2)! = n! \cdot 440\text{。}$ 求 $n$ 的各位数字之和。

A positive integer $n$ satisfies the equation $(n+1)! + (n+2)! = n! \cdot 440.$ What is the sum of the digits of $n?$

$2$

$5$

$10$

$12$

$15$

答案：C

知识点：阶乘代数变形数字

难度评级：1190

小提示：

把 $(n+1)!$ 和 $(n+2)!$ 都用 $n!$ 表示。

Factor $(n+1)!$ and $(n+2)!$ in terms of $n!$

大提示：

除以 $n!$ ，再解得到的二次方程。

Divide by $n!$ and solve the resulting square equation

解答：

左边可改写为 $(n+1)n!+(n+2)(n+1)n!$ $=((n+2)^2-1)n!\text{，}$ 所以 $((n+2)^2-1) n! = 440 n!$ 因此 $(n+2)^2=441\text{，}$ 得 $n=19$ 。各位数字和为 $10$ 。

所以答案是 C。

We can rewrite the left side as $(n+1)n!+(n+2)(n+1)n!$ $=((n+2)^2-1)n!,$ so $((n+2)^2-1) n! = 440 n!$ Therefore, $(n+2)^2=441,$ so $n=19.$ The sum of its digits is $10.$

Thus, the answer is C .

2019 AMC 10B 第 6 题

答案：C

难度评级：1190

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 6 题