Question

对所有实数 $x$ 和 $y$ ，定义 $x \heartsuit y$ 为 $|x - y|$ 。下列哪一项不正确？

Define $x \heartsuit y$ to be $|x - y|$ for all real numbers $x$ and $y.$ Which of the following statements is not true?

对所有 $x$ 和 $y$ ， $x \heartsuit y = y \heartsuit x$

$x \heartsuit y = y \heartsuit x$ for all $x$ and $y$

对所有 $x$ 和 $y$ ， $2(x \heartsuit y) = (2x) \heartsuit (2y)$

$2(x \heartsuit y) = (2x) \heartsuit (2y)$ for all $x$ and $y$

对所有 $x$ ， $x \heartsuit 0 = x$

$x \heartsuit 0 = x$ for all $x$

对所有 $x$ ， $x \heartsuit x = 0$

$x \heartsuit x = 0$ for all $x$

若 $x \ne y$ ，则 $x \heartsuit y \gt 0$

$x \heartsuit y \gt 0$ if $x \ne y$

答案：C

知识点：自定义运算绝对值反例

难度评级：1200

小提示：

用 $x \heartsuit y = |x-y|$ 重写每个陈述。

Rewrite each statement using $x \heartsuit y = |x-y|$

大提示：

当一个输入为 $0$ 、另一个输入为负数时，要特别留意。

Pay special attention when one input is $0$ and the other is negative

解答：

选项 C 声称 $x \heartsuit 0 = x$ ，但 $x \heartsuit 0 = |x - 0| = |x|$ ，当 $x$ 为负数时不成立。例如 $-1 \heartsuit 0 = 1 \ne -1$ 。

其他选项都直接来自绝对值的性质。

所以正确答案是 C。

Statement (C) claims $x \heartsuit 0 = x,$ but $x \heartsuit 0 = |x - 0| = |x|,$ which fails for negative $x.$ For example, $-1 \heartsuit 0 = 1 \ne -1.$

The remaining statements all follow directly from the properties of absolute value.

Thus, the correct answer is C.

2003 AMC 10A 第 6 题

答案：C

难度评级：1200

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 6 题