Question

下列哪个数是完全平方数？

Which of the following numbers is a perfect square?

$98! \cdot 99!$

$98! \cdot 100!$

$99! \cdot 100!$

$99! \cdot 101!$

$100! \cdot 101!$

当 $m \lt n$ 时，将 $m! \cdot n!$ 写成 $(m!)^2 \cdot (m+1)(m+2)\cdots n$ 。

For $m \lt n,$ write $m! \cdot n!$ as $(m!)^2 \cdot (m+1)(m+2)\cdots n$

这个乘积是完全平方数，当且仅当 $(m+1)(m+2)\cdots n$ 是完全平方数。

The product is a perfect square exactly when $(m+1)(m+2)\cdots n$ is

当 $m \lt n$ 时， $m! \cdot n!$ 等于 $(m!)^2 \cdot (m+1)(m+2)\cdots n$ 。前面的平方因子不影响判断，因此只需检查 $(m+1)\cdots n$ 是否为完全平方数。

五个选项的剩余因子分别为 $99$ 、 $99 \cdot 100$ 、 $100$ 、 $100 \cdot 101$ 和 $101$ 。只有 $100 = 10^2$ 是完全平方数。

因此 $99! \cdot 100! = (99! \cdot 10)^2$ 是完全平方数。

所以正确答案是 C。

For $m \lt n,$ $m! \cdot n!$ equals $(m!)^2 \cdot (m+1)(m+2)\cdots n,$ which is a perfect square precisely when $(m+1)\cdots n$ is a perfect square.

For the five choices this leftover factor is $99,$ $99 \cdot 100,$ $100,$ $100 \cdot 101,$ and $101.$ Only $100 = 10^2$ is a perfect square.

Therefore $99! \cdot 100! = (99! \cdot 10)^2$ is the perfect square.

Thus, the correct answer is C.