2004 AMC 10B 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Misty Moon Amphitheater 的每一排有 $33$ 个座位。第 $12$ 排到第 $22$ 排预留给一个青年俱乐部。这个俱乐部一共预留了多少个座位？

Each row of the Misty Moon Amphitheater has $33$ seats. Rows $12$ through $22$ are reserved for a youth club. How many seats are reserved for this club?

$297$

$330$

$363$

$396$

$726$

知识点：区间内整数计数基本计数

难度评级：770

小提示：

先数从第 $12$ 排到第 $22$ 排一共有多少排，包括两端。

Count how many rows run from $12$ through $22$ inclusive

大提示：

将排数乘以 $33$ 。

Multiply the number of rows by $33$

解答：

第 $12$ 排到第 $22$ 排共有 $22 - 12 + 1 = 11$ 排。

每排有 $33$ 个座位，所以总数为 $33 \times 11 = 363$ 。

所以正确答案是 C。

Rows $12$ through $22$ inclusive make up $22 - 12 + 1 = 11$ rows.

Each row has $33$ seats, so the total is $33 \times 11 = 363.$

Thus, the correct answer is C.

2.

有多少个两位正整数至少有一个数字是 $7$ ？

How many two-digit positive integers have at least one $7$ as a digit?

$10$

$18$

$19$

$20$

$30$

知识点：数字容斥原理

难度评级：920

小提示：

分别数十位是 $7$ 的数和个位是 $7$ 的数。

Count the numbers with $7$ in the tens place and those with $7$ in the units place separately

大提示：

数 $77$ 同时属于两类。

The number $77$ belongs to both groups

解答：

$70$ 到 $79$ 给出 $10$ 个十位为 $7$ 的两位数。

数列 $17, 27, \ldots, 97$ 给出 $9$ 个个位为 $7$ 的两位数。

因为 $77$ 被重复计算一次，所以总数为 $10 + 9 - 1 = 18$ 。

所以正确答案是 B。

The numbers $70$ through $79$ give $10$ with a $7$ in the tens place.

The numbers $17, 27, \ldots, 97$ give $9$ with a $7$ in the units place.

Since $77$ is counted twice, the total is $10 + 9 - 1 = 18.$

Thus, the correct answer is B.

3.

上周每次篮球训练中，Jenny 罚中球数都是前一次训练的两倍。她第五次训练罚中 $48$ 个球。她第一次训练罚中了多少个球？

At each basketball practice last week, Jenny made twice as many free throws as she made at the previous practice. At her fifth practice she made $48$ free throws. How many free throws did she make at the first practice?

$3$

$6$

$9$

$12$

$15$

知识点：等比数列逆推法

难度评级：820

小提示：

每次训练数目都是前一次的两倍，所以倒推时每次除以二。

Each practice count is twice the previous one, so work backward by halving

大提示：

从 $48$ 开始反复减半，直到第一次训练。

Halve $48$ repeatedly to reach the first practice

解答：

从第五次训练倒推，罚中数依次为 $48, 24, 12, 6$ 和 $3$ ，对应第五、第四、第三、第二、第一次训练。

所以正确答案是 A。

Working backward from the fifth practice, the counts are $48, 24, 12, 6,$ and $3$ at the fourth, third, second, and first practices.

Thus, the correct answer is A.

4.

掷一个标准六面骰子，令 $P$ 为可见的五个面上的数字之积。一定能整除 $P$ 的最大数是多少？

A standard six-sided die is rolled, and $P$ is the product of the five numbers that are visible. What is the largest number that is certain to divide $P?$

$6$

$12$

$24$

$144$

$720$

知识点：质因数分解整除性极限情形界定

难度评级：1190

小提示：

六个面数字的乘积是 $6! = 720$ ，恰好有一个面被遮住。

The product of all six faces is $6! = 720$ ; exactly one face is hidden

大提示：

对每个质因数，找出不论遮住哪个面都一定剩下多少个。

For each prime, find how many copies must remain no matter which face is hidden

解答：

因为 $6! = 720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5$ ，所以可见乘积只会用到质数 $2$ 、 $3$ 和 $5$ 。

遮住 $4$ 时剩下的因数 $2$ 最少，为 $2^2$ 。遮住 $3$ 或 $6$ 时剩下的因数 $3$ 最少，为一个；遮住 $5$ 时则没有因数 $5$ 。

因此 $P$ 一定能被 $2^2 \cdot 3 = 12$ 整除，但不一定能被更大的数整除。

所以正确答案是 B。

Since $6! = 720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5,$ the visible product uses only the primes $2,$ $3,$ and $5.$

Hiding $4$ leaves the fewest $2$ ’s, namely $2^2.$ Hiding $3$ or $6$ leaves the fewest $3$ ’s, namely one. Hiding $5$ leaves no factor of $5.$

Therefore $P$ is always divisible by $2^2 \cdot 3 = 12,$ but not necessarily by any larger number.

Thus, the correct answer is B.

5.

在表达式 $c \cdot a^b - d$ 中， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 的值为 $0$ 、 $1$ 、 $2$ 和 $3$ ，但顺序不一定如此。结果的最大可能值是多少？

In the expression $c \cdot a^b - d,$ the values of $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are $0,$ $1,$ $2,$ and $3,$ although not necessarily in that order. What is the maximum possible value of the result?

$5$

$6$

$8$

$9$

$10$

知识点：指数最优化分类讨论

难度评级：1120

小提示：

要使结果最大，让被减去的值 $d = 0$ 。

To maximize the result, make the subtracted value $d = 0$

大提示：

剩下 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 时，比较合理分配下的 $c \cdot a^b$ 。

With $1,$ $2,$ $3$ remaining, compare $c \cdot a^b$ for the sensible assignments

解答：

取 $d = 0$ 可以去掉减法，所以只需用 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 最大化 $c \cdot a^b$ 。

取 $c = 1$ 、 $a = 3$ 、 $b = 2$ ，得到 $3^2 = 9$ 。另一种大幂 $2^3 = 8$ 更小，而让 $c \gt 1$ 会迫使幂更小，所以最大值为 $9$ 。

所以正确答案是 D。

Setting $d = 0$ removes the subtraction, so we maximize $c \cdot a^b$ using $1,$ $2,$ $3.$

Taking $c = 1,$ $a = 3,$ $b = 2$ gives $3^2 = 9.$ The alternative $2^3 = 8$ is smaller, and any assignment with $c \gt 1$ forces a smaller power. The maximum is $9.$

Thus, the correct answer is D.

6.

下列哪个数是完全平方数？

Which of the following numbers is a perfect square?

$98! \cdot 99!$

$98! \cdot 100!$

$99! \cdot 100!$

$99! \cdot 101!$

$100! \cdot 101!$

知识点：阶乘完全平方数

难度评级：1290

小提示：

当 $m \lt n$ 时，将 $m! \cdot n!$ 写成 $(m!)^2 \cdot (m+1)(m+2)\cdots n$ 。

For $m \lt n,$ write $m! \cdot n!$ as $(m!)^2 \cdot (m+1)(m+2)\cdots n$

大提示：

这个乘积是完全平方数，当且仅当 $(m+1)(m+2)\cdots n$ 是完全平方数。

The product is a perfect square exactly when $(m+1)(m+2)\cdots n$ is

解答：

当 $m \lt n$ 时， $m! \cdot n!$ 等于 $(m!)^2 \cdot (m+1)(m+2)\cdots n$ 。前面的平方因子不影响判断，因此只需检查 $(m+1)\cdots n$ 是否为完全平方数。

五个选项的剩余因子分别为 $99$ 、 $99 \cdot 100$ 、 $100$ 、 $100 \cdot 101$ 和 $101$ 。只有 $100 = 10^2$ 是完全平方数。

因此 $99! \cdot 100! = (99! \cdot 10)^2$ 是完全平方数。

所以正确答案是 C。

For $m \lt n,$ $m! \cdot n!$ equals $(m!)^2 \cdot (m+1)(m+2)\cdots n,$ which is a perfect square precisely when $(m+1)\cdots n$ is a perfect square.

For the five choices this leftover factor is $99,$ $99 \cdot 100,$ $100,$ $100 \cdot 101,$ and $101.$ Only $100 = 10^2$ is a perfect square.

Therefore $99! \cdot 100! = (99! \cdot 10)^2$ is the perfect square.

Thus, the correct answer is C.

7.

Isabella 从美国去加拿大旅行，带了 $d$ 美元。在边境她把钱全部兑换，汇率为每 $7$ 美元兑换 $10$ 加元。花掉 $60$ 加元后，她还剩 $d$ 加元。 $d$ 的各位数字之和是多少？

On a trip from the United States to Canada, Isabella took $d$ U.S. dollars. At the border she exchanged them all, receiving $10$ Canadian dollars for every $7$ U.S. dollars. After spending $60$ Canadian dollars, she had $d$ Canadian dollars left. What is the sum of the digits of $d?$

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

知识点：一次方程比与比例

难度评级：1100

小提示：

$d$ 美元兑换成 $\dfrac{10}{7}d$ 加元。

Exchanging $d$ U.S. dollars gives $\dfrac{10}{7}d$ Canadian dollars

大提示：

建立方程 $\dfrac{10}{7}d - 60 = d$ 并求解 $d$ 。

Set $\dfrac{10}{7}d - 60 = d$ and solve for $d$

解答：

Isabella 得到 $\dfrac{10}{7}d$ 加元，花掉 $60$ 加元后剩 $d$ 加元，所以 $\dfrac{10}{7}d - 60 = d\text{。}$

即 $\dfrac{3}{7}d = 60$ ，所以 $d = 140$ 。数字和为 $1 + 4 + 0 = 5$ 。

所以正确答案是 A。

Isabella received $\dfrac{10}{7}d$ Canadian dollars and spent $60,$ leaving $d.$ So $\dfrac{10}{7}d - 60 = d.$

Then $\dfrac{3}{7}d = 60,$ so $d = 140.$ The sum of its digits is $1 + 4 + 0 = 5.$

Thus, the correct answer is A.

8.

Minneapolis-St. Paul International Airport 位于 St. Paul 市中心西南 $8$ 英里处，也位于 Minneapolis 市中心东南 $10$ 英里处。下列哪个数最接近 St. Paul 市中心与 Minneapolis 市中心之间的英里数？

Minneapolis-St. Paul International Airport is $8$ miles southwest of downtown St. Paul and $10$ miles southeast of downtown Minneapolis. Which of the following is closest to the number of miles between downtown St. Paul and downtown Minneapolis?

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

知识点：勾股定理估算

难度评级：1030

小提示：

西南方向和东南方向互相垂直。

Southwest and southeast are perpendicular directions

大提示：

距离为 $\sqrt{8^2 + 10^2}$ ，再估计最接近的整数。

The distance is $\sqrt{8^2 + 10^2}$ ; estimate the nearest whole number

解答：

两个给定方向互相垂直，因此机场位于一个直角三角形的直角顶点，两条直角边为 $8$ 和 $10$ 。

两个市中心之间的距离为 $\sqrt{8^2 + 10^2} = \sqrt{164} \approx 12.8$ ，最接近 $13$ 。

所以正确答案是 A。

The two given directions are perpendicular, so the airport sits at the right angle of a right triangle with legs $8$ and $10.$

The distance between the downtowns is $\sqrt{8^2 + 10^2} = \sqrt{164} \approx 12.8,$ which is closest to $13.$

Thus, the correct answer is A.

9.

一个正方形边长为 $10$ ，一个圆以该正方形的一个顶点为圆心、半径为 $10$ 。正方形和圆所围区域的并集面积是多少？

A square has sides of length $10,$ and a circle centered at one of its vertices has radius $10.$ What is the area of the union of the regions enclosed by the square and the circle?

$200 + 25\pi$

$100 + 75\pi$

$75 + 100\pi$

$100 + 100\pi$

$100 + 125\pi$

知识点：圆面积扇形容斥原理

难度评级：1270

小提示：

将正方形面积和圆面积相加，再减去重叠部分。

Add the areas of the square and the circle, then subtract the overlap

大提示：

重叠部分是圆中位于正方形内部的四分之一圆。

The overlap is the quarter of the circle that lies inside the square

解答：

正方形面积为 $10^2 = 100$ ，圆面积为 $\pi(10)^2 = 100\pi$ 。

因为圆心在正方形顶点，正好有四分之一圆位于正方形内部，面积为 $25\pi$ 。

并集面积为 $100 + 100\pi - 25\pi = 100 + 75\pi$ 。

所以正确答案是 B。

The square has area $10^2 = 100$ and the circle has area $\pi(10)^2 = 100\pi.$

Since the circle is centered at a vertex of the square, exactly one quarter of the circle, area $25\pi,$ lies inside the square.

The union has area $100 + 100\pi - 25\pi = 100 + 75\pi.$

Thus, the correct answer is B.

10.

一位杂货商摆放罐头，最上面一排有一个罐头，每往下一排比上一排多两个罐头。如果这个展示架共有 $100$ 个罐头，它有多少排？

A grocer makes a display of cans in which the top row has one can and each lower row has two more cans than the row above it. If the display contains $100$ cans, how many rows does it contain?

$5$

$8$

$9$

$10$

$11$

知识点：前n个奇数之和

难度评级：1170

小提示：

各排罐头数为 $1, 3, 5, \ldots$ 。

The rows contain $1, 3, 5, \ldots$ cans

大提示：

前 $n$ 个奇数的和等于 $n^2$ 。

The sum of the first $n$ odd numbers equals $n^2$

解答：

各排罐头数为 $1, 3, 5, \ldots$ ，前 $n$ 个奇数的和为 $n^2$ 。

令 $n^2 = 100$ ，得 $n = 10$ 。

所以正确答案是 D。

The rows hold $1, 3, 5, \ldots$ cans, and the sum of the first $n$ odd numbers is $n^2.$

Setting $n^2 = 100$ gives $n = 10.$

Thus, the correct answer is D.

11.

两个八面骰子的面都标有 $1$ 到 $8$ 。掷骰子时，每个面朝上的概率相同。两个朝上数字的乘积大于它们的和的概率是多少？

Two eight-sided dice each have faces numbered $1$ through $8.$ When the dice are rolled, each face has an equal probability of appearing on the top. What is the probability that the product of the two top numbers is greater than their sum?

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{47}{64}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{55}{64}$

$\dfrac{7}{8}$

知识点：骰子（概率）西蒙最爱的因式分解技巧补集计数

难度评级：1430

小提示：

条件 $mn \gt m + n$ 可改写为 $(m-1)(n-1) \gt 1$ 。

The condition $mn \gt m + n$ rearranges to $(m-1)(n-1) \gt 1$

大提示：

反过来数满足 $(m-1)(n-1) \le 1$ 的有序对。

Count the ordered pairs where $(m-1)(n-1) \le 1$ instead

解答：

共有 $8 \cdot 8 = 64$ 个有序结果。条件 $mn \gt m + n$ 等价于 $(m-1)(n-1) \gt 1$ 。

不满足条件的情况只有 $m = 1$ 、 $n = 1$ ，或 $m = n = 2$ 。这些情况共有 $8 + 8 - 1 + 1 = 16$ 个。

因此概率为 $\dfrac{64 - 16}{64} = \dfrac{48}{64} = \dfrac{3}{4}$ 。

所以正确答案是 C。

There are $8 \cdot 8 = 64$ ordered pairs. The inequality $mn \gt m + n$ is equivalent to $(m-1)(n-1) \gt 1.$

This fails only when $m = 1,$ $n = 1,$ or $m = n = 2,$ which account for $8 + 8 - 1 + 1 = 16$ pairs.

The probability is $\dfrac{64 - 16}{64} = \dfrac{48}{64} = \dfrac{3}{4}.$

Thus, the correct answer is C.

12.

圆环是两个同心圆之间的区域。图中同心圆半径分别为 $b$ 和 $c$ ，其中 $b \gt c$ 。令 $\overline{OX}$ 为大圆半径， $\overline{XZ}$ 在 $Z$ 点与小圆相切， $\overline{OY}$ 是经过 $Z$ 的大圆半径。设 $a = XZ$ 、 $d = YZ$ 、 $e = XY$ 。这个圆环的面积是多少？

An annulus is the region between two concentric circles. The concentric circles in the figure have radii $b$ and $c,$ with $b \gt c.$ Let $\overline{OX}$ be a radius of the larger circle, let $\overline{XZ}$ be tangent to the smaller circle at $Z,$ and let $\overline{OY}$ be the radius of the larger circle that contains $Z.$ Let $a = XZ,$ $d = YZ,$ and $e = XY.$ What is the area of the annulus?

$\pi a^2$

$\pi b^2$

$\pi c^2$

$\pi d^2$

$\pi e^2$

知识点：圆环圆面积切线勾股定理

难度评级：1390

小提示：

环形区域面积为 $\pi b^2 - \pi c^2$ 。

The annulus area is $\pi b^2 - \pi c^2$

大提示：

因为 $\overline{XZ}$ 在 $Z$ 点相切，三角形 $OZX$ 是直角三角形，所以 $b^2 - c^2 = a^2$ 。

Since $\overline{XZ}$ is tangent at $Z,$ triangle $OZX$ is right-angled, giving $b^2 - c^2 = a^2$

解答：

圆环面积是两个圆面积之差，即 $\pi b^2 - \pi c^2$ 。

因为 $\overline{XZ}$ 在 $Z$ 点与小圆相切，所以它垂直于半径 $\overline{OZ}$ 。在直角三角形 $OZX$ 中， $OX = b$ 、 $OZ = c$ 、 $XZ = a$ ，所以 $b^2 - c^2 = a^2$ 。

因此圆环面积为 $\pi a^2$ 。

所以正确答案是 A。

The annulus is the difference of the two circular areas, $\pi b^2 - \pi c^2.$

Because $\overline{XZ}$ is tangent to the small circle at $Z,$ it is perpendicular to the radius $\overline{OZ}.$ In right triangle $OZX$ with $OX = b,$ $OZ = c,$ and $XZ = a,$ we get $b^2 - c^2 = a^2.$

Therefore the area of the annulus is $\pi a^2.$

Thus, the correct answer is A.

13.

美国硬币厚度如下：一分硬币为 $1.55$ 毫米，五分硬币为 $1.95$ 毫米，十分硬币为 $1.35$ 毫米，二十五分硬币为 $1.75$ 毫米。如果一叠这样的硬币高度正好为 $14$ 毫米，那么这叠硬币有多少枚？

In the United States, coins have the following thicknesses: penny, $1.55$ mm; nickel, $1.95$ mm; dime, $1.35$ mm; quarter, $1.75$ mm. If a stack of these coins is exactly $14$ mm high, how many coins are in the stack?

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

知识点：位值小数极限情形界定

难度评级：1530

小提示：

每种硬币厚度的百分位都是 $5$ ，所以考虑总高度小数末两位。

Every coin thickness ends in a $5$ in the hundredths place, so consider the height’s last two decimal digits

大提示：

要让总高度是整数毫米，硬币枚数必须是 $4$ 的倍数。

For the height to be a whole number of mm, the number of coins must be a multiple of $4$

解答：

把每个厚度都用百分之一毫米表示。四种可能的厚度为 $135$ 、 $155$ 、 $175$ 、 $195$ ，它们都同余于 $15\pmod{20}$ 。若一摞有 $k$ 枚硬币且高度为整数毫米，则以百分之一毫米表示的总厚度能被 $20$ 整除，所以 $15k$ 能被 $20$ 整除。因此 $k$ 必须是 $4$ 的倍数。

$4$ 枚硬币的高度至多为 $4(1.95) = 7.8$ 毫米， $12$ 枚硬币的高度至少为 $12(1.35) = 16.2$ 毫米，所以只有 $8$ 枚硬币可能恰好高 $14$ 毫米。

事实上， $8$ 枚二十五美分硬币的高度为 $8(1.75) = 14$ 毫米。

所以正确答案是 B。

Measure every thickness in hundredths of a millimeter. The four possible thicknesses are $135,$ $155,$ $175,$ $195,$ all congruent to $15\pmod{20}.$ If the stack has $k$ coins and an integer height, its total in hundredths is divisible by $20,$ so $15k$ is divisible by $20.$ Therefore $k$ must be a multiple of $4.$

A stack of $4$ coins is at most $4(1.95) = 7.8$ mm, and a stack of $12$ coins is at least $12(1.35) = 16.2$ mm, so only $8$ coins can total $14$ mm.

Indeed, $8$ quarters give $8(1.75) = 14$ mm.

Thus, the correct answer is B.

14.

一个袋子最初只含红色和蓝色弹珠，且蓝色比红色多。向袋中加入红色弹珠，直到蓝色弹珠只占袋中弹珠的 $\tfrac{1}{3}$ 。然后加入黄色弹珠，直到蓝色弹珠只占袋中弹珠的 $\tfrac{1}{5}$ 。最后，将袋中蓝色弹珠的数量加倍。现在袋中弹珠有几分之几是蓝色？

A bag initially contains red marbles and blue marbles only, with more blue than red. Red marbles are added to the bag until only $\tfrac{1}{3}$ of the marbles in the bag are blue. Then yellow marbles are added to the bag until only $\tfrac{1}{5}$ of the marbles in the bag are blue. Finally, the number of blue marbles in the bag is doubled. What fraction of the marbles now in the bag are blue?

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{1}{2}$

知识点：分数比与比例

难度评级：1240

小提示：

设蓝色弹珠数为 $B$ ，追踪每一步的总数。

Let $B$ be the number of blue marbles and track the total at each stage

大提示：

在最后加倍之前，有 $B$ 个蓝色弹珠，总数为 $5B$ 。

Just before doubling there are $B$ blue out of $5B$ total

解答：

设蓝色弹珠数为 $B$ 。加入红色弹珠后，总数为 $3B$ ；加入黄色弹珠后，总数为 $5B$ ，蓝色仍为 $B$ 。

将蓝色弹珠数量加倍后，有 $2B$ 个蓝色弹珠，总数变为 $6B$ ，所以蓝色所占比例为 $\dfrac{2B}{6B} = \dfrac{1}{3}$ 。

所以正确答案是 C。

Let there be $B$ blue marbles. After adding red marbles the total is $3B;$ after adding yellow marbles the total is $5B,$ still with $B$ blue.

Doubling the blue marbles gives $2B$ blue out of $6B$ total, which is $\dfrac{2B}{6B} = \dfrac{1}{3}.$

Thus, the correct answer is C.

15.

Patty 有 $20$ 枚硬币，由五分硬币和十分硬币组成。如果她的五分硬币都变成十分硬币，而十分硬币都变成五分硬币，她会多 $70$ 美分。她现在的硬币总值是多少？

Patty has $20$ coins consisting of nickels and dimes. If her nickels were dimes and her dimes were nickels, she would have $70$ cents more. How much are her coins worth?

$\$1.15$

$\$1.20$

$\$1.25$

$\$1.30$

$\$1.35$

知识点：方程组钱币

难度评级：1240

小提示：

交换后总值增加，说明她的五分硬币比十分硬币多。

Swapping raises the value, so she has more nickels than dimes

大提示：

每枚五分硬币与十分硬币的交换会改变 $5$ 美分。

Each nickel-for-dime swap changes the total by $5$ cents

解答：

交换后价值增加，所以 Patty 的五分硬币比十分硬币多。每枚硬币交换后价值变化 $5$ 美分，所以五分硬币比十分硬币多 $\frac{70}{5} = 14$ 枚。

两种硬币的数量满足 $n + d = 20$ 和 $n - d = 14$ ，解得她有 $17$ 枚五分硬币和 $3$ 枚十分硬币。

她的硬币总值为 $17 \cdot 5 + 3 \cdot 10 = 115$ 美分，即 $\$1.15$ 。

所以正确答案是 A。

Swapping increases the value, so Patty has more nickels than dimes. Each swapped coin changes the total by $5$ cents, so she has $\frac{70}{5} = 14$ more nickels than dimes.

With $n + d = 20$ and $n - d = 14,$ she has $17$ nickels and $3$ dimes.

Her coins are worth $17 \cdot 5 + 3 \cdot 10 = 115$ cents, or $\$1.15.$

Thus, the correct answer is A.

16.

三个半径为 $1$ 的圆两两外切，并且都与一个较大的圆内切。大圆的半径是多少？

Three circles of radius $1$ are externally tangent to each other and internally tangent to a larger circle. What is the radius of the large circle?

$\dfrac{2 + \sqrt{6}}{3}$

$2$

$\dfrac{2 + 3\sqrt{2}}{3}$

$\dfrac{3 + 2\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{3 + \sqrt{3}}{2}$

知识点：相切圆等边三角形特殊直角三角形

难度评级：1640

小提示：

三个小圆的圆心形成边长为 $2$ 的等边三角形。

The three small centers form an equilateral triangle of side $2$

大提示：

大圆半径等于 $1$ 加上该等边三角形中心到顶点的距离。

The large radius is $1$ plus the distance from that triangle’s center to a vertex

解答：

三个单位圆的圆心形成边长为 $2$ 的等边三角形；它的中心就是大圆的圆心。

对于边长为 $2$ 的等边三角形，中心到顶点的距离为 $\dfrac{2}{\sqrt3} = \dfrac{2\sqrt3}{3}$ 。

再加上单位圆半径，大圆半径为 $1 + \dfrac{2\sqrt3}{3} = \dfrac{3 + 2\sqrt3}{3}$ 。

所以正确答案是 D。

The centers of the three unit circles form an equilateral triangle with side $2.$ Its center is the center of the large circle.

For an equilateral triangle of side length $2,$ the distance from its center to a vertex is $\dfrac{2}{\sqrt3} = \dfrac{2\sqrt3}{3}.$

Adding the unit radius, the large radius is $1 + \dfrac{2\sqrt3}{3} = \dfrac{3 + 2\sqrt3}{3}.$

Thus, the correct answer is D.

17.

Jack 年龄的两个数字与 Bill 年龄的两个数字相同，但顺序相反。五年后 Jack 的年龄将是 Bill 那时年龄的两倍。他们现在年龄相差多少？

The two digits in Jack’s age are the same as the digits in Bill’s age, but in reverse order. In five years Jack will be twice as old as Bill will be then. What is the difference in their current ages?

$9$

$18$

$27$

$36$

$45$

知识点：年龄问题数字丢番图方程

难度评级：1410

小提示：

将 Jack 的年龄写成 $10x + y$ ，Bill 的年龄写成 $10y + x$ 。

Write Jack’s age as $10x + y$ and Bill’s as $10y + x$

大提示：

条件 $10x + y + 5 = 2(10y + x + 5)$ 可化简为 $8x = 19y + 5$ 。

The condition $10x + y + 5 = 2(10y + x + 5)$ reduces to $8x = 19y + 5$

解答：

设 Jack 的年龄为 $10x + y$ ，Bill 的年龄为 $10y + x$ 。条件给出 $10x + y + 5 = 2(10y + x + 5)$ ，即 $8x = 19y + 5$ 。

由于 $x$ 和 $y$ 是数字，唯一解为 $y = 1$ 、 $x = 3$ 。

所以 Jack 为 $31$ 岁，Bill 为 $13$ 岁，差为 $18$ 。

所以正确答案是 B。

Let Jack’s age be $10x + y$ and Bill’s be $10y + x.$ In five years $10x + y + 5 = 2(10y + x + 5),$ which simplifies to $8x = 19y + 5.$

Since $x$ and $y$ are digits, the only solution is $y = 1,$ $x = 3.$

So Jack is $31$ and Bill is $13,$ a difference of $18.$

Thus, the correct answer is B.

18.

在直角三角形 $\triangle ACE$ 中， $AC = 12$ 、 $CE = 16$ 、 $EA = 20$ 。点 $B$ 、 $D$ 和 $F$ 分别在 $AC$ 、 $CE$ 和 $EA$ 上，且 $AB = 3$ 、 $CD = 4$ 、 $EF = 5$ 。 $\triangle BDF$ 的面积与 $\triangle ACE$ 的面积之比是多少？

In right triangle $\triangle ACE,$ we have $AC = 12,$ $CE = 16,$ and $EA = 20.$ Points $B,$ $D,$ and $F$ are located on $AC,$ $CE,$ and $EA,$ respectively, so that $AB = 3,$ $CD = 4,$ and $EF = 5.$ What is the ratio of the area of $\triangle BDF$ to that of $\triangle ACE?$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{9}{25}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{11}{25}$

$\dfrac{7}{16}$

知识点：面积比面积分割三角形面积

难度评级：1630

小提示：

$\triangle ACE$ 的面积是 $\tfrac12(12)(16) = 96$ 。

The area of $\triangle ACE$ is $\tfrac12(12)(16) = 96$

大提示：

减去三个角上的三角形；每个角上三角形的底和高都是大三角形相应底和高的已知比例。

Subtract the three corner triangles; each has a base and height that are known fractions of the big triangle’s

解答：

$\triangle ACE$ 的面积是 $\tfrac12(12)(16) = 96$ 。

三个角上的三角形 $\triangle ABF$ 、 $\triangle BCD$ 和 $\triangle DEF$ 的一组底和高，分别是 $\triangle ACE$ 中对应底和高的 $\tfrac34$ 和 $\tfrac14$ 。所以每个小三角形的面积都是 $\triangle ACE$ 面积的 $\tfrac14 \cdot \tfrac34 = \tfrac{3}{16}$ 。

因此 $\begin{aligned} \dfrac{[BDF]}{[ACE]} &= 1 - 3 \cdot \dfrac{3}{16} \\ &= 1 - \dfrac{9}{16} = \dfrac{7}{16} \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 E。

The area of $\triangle ACE$ is $\tfrac12(12)(16) = 96.$

Each corner triangle $\triangle ABF,$ $\triangle BCD,$ and $\triangle DEF$ has a base and an altitude that are $\tfrac34$ and $\tfrac14$ of a corresponding base and altitude of $\triangle ACE.$ So each has area $\tfrac14 \cdot \tfrac34 = \tfrac{3}{16}$ of $\triangle ACE.$

Hence $\begin{aligned} \dfrac{[BDF]}{[ACE]} &= 1 - 3 \cdot \dfrac{3}{16} \\ &= 1 - \dfrac{9}{16} = \dfrac{7}{16}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

19.

在数列 $2001$ 、 $2002$ 、 $2003$ 、 $\ldots$ 中，第三项之后每一项等于前面两项的和减去紧前一项。例如第四项为 $2001 + 2002 - 2003 = 2000$ 。这个数列的第 $2004$ 项是多少？

In the sequence $2001,$ $2002,$ $2003,$ $\ldots,$ each term after the third is found by subtracting the previous term from the sum of the two terms that precede that term. For example, the fourth term is $2001 + 2002 - 2003 = 2000.$ What is the $2004$ th term in this sequence?

$-2004$

$-2$

$0$

$4003$

$6007$

知识点：递推等差数列找规律

难度评级：1460

小提示：

写出若干项： $2001$ 、 $2002$ 、 $2003$ 、 $2000$ 、 $2005$ 、 $1998$ 、 $\ldots$

Write out several terms: $2001,$ $2002,$ $2003,$ $2000,$ $2005,$ $1998,$ $\ldots$

大提示：

偶数位置的项每次减少 $2$ 。

The even-position terms decrease by $2$ each time

解答：

递推式 $a_{k+1} = a_{k-2} + a_{k-1} - a_k$ 给出 $a_{k+1} - a_{k-1} = -(a_k - a_{k-2})$ 。数列开头为 $2001$ 、 $2002$ 、 $2003$ 、 $2000$ 、 $2005$ 、 $1998$ 、 $\ldots$ 。

因此偶数位置项形成等差数列 $2002, 2000, 1998, \ldots$ ，公差为 $-2$ 。第 $2004$ 项是这个等差数列的第 $1002$ 项，即 $2002 + 1001(-2) = 0$ 。

所以正确答案是 C。

The recurrence $a_{k+1} = a_{k-2} + a_{k-1} - a_k$ gives $a_{k+1} - a_{k-1} = -(a_k - a_{k-2}).$ The sequence begins $2001,$ $2002,$ $2003,$ $2000,$ $2005,$ $1998,$ $\ldots$

So the even-position terms form the arithmetic sequence $2002, 2000, 1998, \ldots$ with common difference $-2.$ The $2004$ th term is its $1002$ nd term, $2002 + 1001(-2) = 0.$

Thus, the correct answer is C.

20.

在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$ 和 $E$ 分别在 $\overline{BC}$ 和 $\overline{AC}$ 上。若 $\overline{AD}$ 与 $\overline{BE}$ 交于 $T$ ，且 $\frac{AT}{DT} = 3$ 、 $\frac{BT}{ET} = 4$ ，求 $\frac{CD}{BD}$ 。

In $\triangle ABC$ points $D$ and $E$ lie on $\overline{BC}$ and $\overline{AC},$ respectively. If $\overline{AD}$ and $\overline{BE}$ intersect at $T$ so that $\frac{AT}{DT} = 3$ and $\frac{BT}{ET} = 4,$ what is $\frac{CD}{BD}?$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{2}{9}$

$\dfrac{3}{10}$

$\dfrac{4}{11}$

$\dfrac{5}{12}$

知识点：相似平行线比与比例

难度评级：1840

小提示：

过 $D$ 作平行于 $\overline{BE}$ 的直线，交 $\overline{AC}$ 于 $F$ 。

Draw the line through $D$ parallel to $\overline{BE}$ meeting $\overline{AC}$ at a point $F$

大提示：

两组相似三角形给出 $\frac{CD}{BC}$ ，再转化为 $\frac{CD}{BD}$ 。

Two pairs of similar triangles give $\frac{CD}{BC},$ which converts to $\frac{CD}{BD}$

解答：

设 $F$ 在 $\overline{AC}$ 上，且 $DF \parallel BE$ 。令 $ET = x$ ，则 $BT = 4x$ 。

由 $\triangle ATE \sim \triangle ADF$ ，得 $\dfrac{DF}{x} = \dfrac{AD}{AT} = \dfrac{4}{3}$ ，所以 $DF = \dfrac{4x}{3}$ 。

由 $\triangle BEC \sim \triangle DFC$ ，得 $\dfrac{CD}{BC} = \dfrac{DF}{BE} = \dfrac{\frac{4x}{3}}{5x} = \dfrac{4}{15}$ 。

因此 $\begin{aligned} \dfrac{CD}{BD} &= \dfrac{\frac{CD}{BC}}{1 - \frac{CD}{BC}} \\ &= \dfrac{\frac{4}{15}}{\frac{11}{15}} = \dfrac{4}{11} \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 D。

Let $F$ be on $\overline{AC}$ with $DF \parallel BE,$ and write $ET = x,$ $BT = 4x.$

From $\triangle ATE \sim \triangle ADF,$ $\dfrac{DF}{x} = \dfrac{AD}{AT} = \dfrac{4}{3},$ so $DF = \dfrac{4x}{3}.$

From $\triangle BEC \sim \triangle DFC,$ $\dfrac{CD}{BC} = \dfrac{DF}{BE} = \dfrac{\frac{4x}{3}}{5x} = \dfrac{4}{15}.$

Therefore $\begin{aligned} \dfrac{CD}{BD} &= \dfrac{\frac{CD}{BC}}{1 - \frac{CD}{BC}} \\ &= \dfrac{\frac{4}{15}}{\frac{11}{15}} = \dfrac{4}{11}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

21.

设 $1$ 、 $4$ 、 $\ldots$ 和 $9$ 、 $16$ 、 $\ldots$ 是两个等差数列。集合 $S$ 是这两个数列各自前 $2004$ 项的并集。 $S$ 中有多少个不同的数？

Let $1,$ $4,$ $\ldots$ and $9,$ $16,$ $\ldots$ be two arithmetic progressions. The set $S$ is the union of the first $2004$ terms of each sequence. How many distinct numbers are in $S?$

$3722$

$3732$

$3914$

$3924$

$4007$

知识点：等差数列最小公倍数容斥原理

难度评级：1740

小提示：

第一个数列公差为 $3$ ，最后一项为 $1 + 3 \cdot 2003 = 6010$ 。

The first sequence has common difference $3$ and last term $1 + 3 \cdot 2003 = 6010$

大提示：

公共项从 $16$ 开始，间隔为 $\mathrm{lcm}(3, 7) = 21$ ；数出不超过 $6010$ 的公共项。

Common terms start at $16$ and are spaced by $\mathrm{lcm}(3, 7) = 21;$ count the terms not exceeding $6010$

解答：

第一个数列为 $1 + 3k$ ，最大项为 $6010$ 。第二个数列为 $9 + 7j$ ，其最后一项更大，所以公共项上界由 $6010$ 限制。

公共项形如 $16 + 21m$ ，因为第一个公共项为 $16$ ，且 $\mathrm{lcm}(3, 7) = 21$ 。由 $16 + 21m \le 6010$ 得 $0 \le m \le 285$ ，共有 $286$ 个公共项。

因此不同数的个数为 $2004 + 2004 - 286 = 3722$ 。

所以正确答案是 A。

The first sequence is $1 + 3k$ with largest term $6010,$ and the second is $9 + 7j$ with a much larger last term, so the binding limit is $6010.$

A common value has the form $16 + 21m$ (the first shared term is $16,$ spaced by $\mathrm{lcm}(3, 7) = 21$ ). Requiring $16 + 21m \le 6010$ gives $0 \le m \le 285,$ that is $286$ common numbers.

The number of distinct values is $2004 + 2004 - 286 = 3722.$

Thus, the correct answer is A.

22.

一个边长为 $5$ 、 $12$ 和 $13$ 的三角形有内切圆和外接圆。这两个圆的圆心之间的距离是多少？

A triangle with sides of $5,$ $12,$ and $13$ has both an inscribed and a circumscribed circle. What is the distance between the centers of those circles?

$\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$

$\dfrac{7}{2}$

$\sqrt{15}$

$\dfrac{\sqrt{65}}{2}$

$\dfrac{9}{2}$

知识点：内切圆、内心与内切圆半径外接圆、外心与外接圆半径直角三角形坐标几何

难度评级：1770

小提示：

将直角三角形放在坐标系中，顶点取 $(0, 0)$ 、 $(5, 0)$ 、 $(0, 12)$ 。

Place the right triangle with vertices $(0, 0),$ $(5, 0),$ and $(0, 12)$

大提示：

直角三角形的外心是斜边中点；内切圆半径为 $r = \tfrac{a + b - c}{2}$ 。

The circumcenter is the midpoint of the hypotenuse; a right triangle’s inradius is $r = \tfrac{a + b - c}{2}$

解答：

因为 $5^2 + 12^2 = 13^2$ ，这是直角三角形。将顶点放在 $(0, 0)$ 、 $(5, 0)$ 、 $(0, 12)$ ，则外心为斜边中点 $\left(\tfrac52, 6\right)$ 。

内切圆半径满足 $(12 - r) + (5 - r) = 13$ ，所以 $r = 2$ ，内心为 $(2, 2)$ 。

两圆心之间的距离为 $\begin{gathered} \sqrt{\left(\tfrac52 - 2\right)^2 + (6 - 2)^2} \\ = \sqrt{\tfrac14 + 16} \\ = \dfrac{\sqrt{65}}{2} \end{gathered}\text{。}$

所以正确答案是 D。

Since $5^2 + 12^2 = 13^2,$ the triangle is right. Place it at $(0, 0),$ $(5, 0),$ $(0, 12).$ The circumcenter is the midpoint of the hypotenuse, $\left(\tfrac52, 6\right).$

The inradius satisfies $(12 - r) + (5 - r) = 13,$ so $r = 2$ and the incenter is $(2, 2).$

The distance is $\begin{gathered} \sqrt{\left(\tfrac52 - 2\right)^2 + (6 - 2)^2} \\ = \sqrt{\tfrac14 + 16} \\ = \dfrac{\sqrt{65}}{2}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

23.

一个立方体的每个面独立地以概率 $\tfrac12$ 涂成红色或蓝色。这个涂色立方体可以放在水平面上，使四个竖直面颜色全相同的概率是多少？

Each face of a cube is painted either red or blue, each with probability $\tfrac12.$ The color of each face is determined independently. What is the probability that the painted cube can be placed on a horizontal surface so that the four vertical faces are all the same color?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{5}{16}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

知识点：基本概率分类讨论正方体

难度评级：1990

小提示：

固定立方体方向，共有 $2^6 = 64$ 种等可能涂色。

Fixing the cube’s orientation, there are $2^6 = 64$ equally likely colorings

大提示：

可行涂色包括：六面同色、恰好五面同色，或四面同色且剩下两面为相对面并为另一种颜色。

The working colorings are: all one color, exactly five one color, or four of one color with the opposite pair the other

解答：

固定立方体方向，共有 $2^6 = 64$ 种涂色。

可行情况包括：六面同色，有 $2$ 种；恰好五面同色，有 $\binom{6}{5} \cdot 2 = 12$ 种；以及四个面同色而剩下的一对相对面为另一种颜色，有 $3$ 组相对面、 $2$ 种颜色，共 $6$ 种。

总共有 $2 + 12 + 6 = 20$ 种，所以概率为 $\dfrac{20}{64} = \dfrac{5}{16}$ 。

所以正确答案是 B。

Fixing the orientation, there are $2^6 = 64$ colorings.

A coloring works if all six faces match ( $2$ ways), exactly five match ( $\binom{6}{5} \cdot 2 = 12$ ways), or four faces share a color with the remaining pair being opposite faces of the other color ( $3$ opposite pairs, $2$ colors, giving $6$ ways).

The total is $2 + 12 + 6 = 20,$ so the probability is $\dfrac{20}{64} = \dfrac{5}{16}.$

Thus, the correct answer is B.

24.

在 $\triangle ABC$ 中， $AB = 7$ 、 $AC = 8$ 、 $BC = 9$ 。点 $D$ 在三角形的外接圆上，使得 $\overline{AD}$ 平分 $\angle BAC$ 。求 $\frac{AD}{CD}$ 。

In $\triangle ABC$ we have $AB = 7,$ $AC = 8,$ and $BC = 9.$ Point $D$ is on the circumscribed circle of the triangle so that $\overline{AD}$ bisects $\angle BAC.$ What is the value of $\frac{AD}{CD}?$

$\dfrac{9}{8}$

$\dfrac{5}{3}$

$2$

$\dfrac{17}{7}$

$\dfrac{5}{2}$

知识点：圆周角相似角平分线定理

难度评级：2030

小提示：

设 $\overline{AD}$ 交 $\overline{BC}$ 于 $E$ ；圆周角定理给出 $\angle ABE = \angle ADC$ 。

Let $\overline{AD}$ meet $\overline{BC}$ at $E;$ inscribed angles give $\angle ABE = \angle ADC$

大提示：

三角形 $ABE$ 与三角形 $ADC$ 相似，所以 $\frac{AD}{CD} = \frac{AB}{BE}$ ；再由角平分线定理求 $BE$ 。

Triangles $ABE$ and $ADC$ are similar, so $\frac{AD}{CD} = \frac{AB}{BE};$ find $BE$ from the Angle Bisector Theorem

解答：

设 $\overline{AD}$ 交 $\overline{BC}$ 于 $E$ 。因为 $\angle ABC$ 与 $\angle ADC$ 截同弧，所以它们相等；又有 $\angle EAB = \angle CAD$ ，因此 $\triangle ABE \sim \triangle ADC$ 。

因此 $\dfrac{AD}{CD} = \dfrac{AB}{BE}$ 。

由角平分线定理， $\dfrac{BE}{EC} = \dfrac{AB}{AC}$ ，所以 $BE = \dfrac{AB \cdot BC}{AB + AC} = \dfrac{7 \cdot 9}{15}$ 。

因此 $\begin{aligned} \dfrac{AD}{CD} &= \dfrac{AB}{BE} = \dfrac{AB + AC}{BC} \\ &= \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3} \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 B。

Let $\overline{AD}$ meet $\overline{BC}$ at $E.$ Since $\angle ABC$ and $\angle ADC$ subtend the same arc, they are equal, and $\angle EAB = \angle CAD,$ so $\triangle ABE \sim \triangle ADC.$

Hence $\dfrac{AD}{CD} = \dfrac{AB}{BE}.$

By the Angle Bisector Theorem, $\dfrac{BE}{EC} = \dfrac{AB}{AC},$ so $BE = \dfrac{AB \cdot BC}{AB + AC} = \dfrac{7 \cdot 9}{15}.$

Therefore $\begin{aligned} \dfrac{AD}{CD} &= \dfrac{AB}{BE} = \dfrac{AB + AC}{BC} \\ &= \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

25.

一个半径为 $1$ 的圆在点 $A$ 和 $B$ 处分别与两个半径为 $2$ 的圆内切，其中 $AB$ 是小圆的一条直径。求图中阴影区域面积，该区域位于小圆外部且在两个大圆内部。

A circle of radius $1$ is internally tangent to two circles of radius $2$ at points $A$ and $B,$ where $AB$ is a diameter of the smaller circle. What is the area of the region, shaded in the figure, that is outside the smaller circle and inside each of the two larger circles?

$\dfrac{5}{3}\pi - 3\sqrt{2}$

$\dfrac{5}{3}\pi - 2\sqrt{3}$

$\dfrac{8}{3}\pi - 3\sqrt{3}$

$\dfrac{8}{3}\pi - 3\sqrt{2}$

$\dfrac{8}{3}\pi - 2\sqrt{3}$

知识点：扇形面积分割特殊直角三角形对称性

难度评级：2270

小提示：

由对称性，阴影区域可以分成四个全等部分；先求其中四分之一。

By symmetry the shaded region splits into four congruent pieces; compute one quarter

大提示：

一个四分之一部分等于大圆的 $60^\circ$ 扇形减去一个直角三角形，再减去小圆的四分之一。

One quarter is a $60^\circ$ sector of a large circle minus a right triangle minus a quarter of the small circle

解答：

设两个大圆圆心为 $A$ 和 $B$ ，小圆圆心为 $C$ ，两个大圆的一个交点为 $D$ 。

则 $\triangle ACD$ 是直角三角形，且 $AC = 1$ 、 $AD = 2$ ，所以 $CD = \sqrt3$ 、 $\angle CAD = 60^\circ$ ，其面积为 $\dfrac{\sqrt3}{2}$ 。

阴影区域的四分之一等于半径为 $2$ 的大圆中一个 $60^\circ$ 扇形面积 $\dfrac{2\pi}{3}$ ，减去 $\triangle ACD$ 的面积 $\dfrac{\sqrt3}{2}$ ，再减去小圆四分之一的面积 $\dfrac{\pi}{4}$ ，得到 $\dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\sqrt3}{2} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{12} - \dfrac{\sqrt3}{2}$ 。

乘以 $4$ ，阴影总面积为 $\dfrac{5\pi}{3} - 2\sqrt3$ 。

所以正确答案是 B。

Let the large circles have centers $A$ and $B,$ let $C$ be the center of the small circle, and let $D$ be a point where the two large circles meet.

Then $\triangle ACD$ is right with $AC = 1$ and $AD = 2,$ so $CD = \sqrt3,$ $\angle CAD = 60^\circ,$ and its area is $\dfrac{\sqrt3}{2}.$

One quarter of the shaded region equals the $60^\circ$ sector of the radius- $2$ circle (area $\dfrac{2\pi}{3}$ ) minus $\triangle ACD$ (area $\dfrac{\sqrt3}{2}$ ) minus a quarter of the small circle (area $\dfrac{\pi}{4}$ ), giving $\dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\sqrt3}{2} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{12} - \dfrac{\sqrt3}{2}.$

Multiplying by $4,$ the shaded area is $\dfrac{5\pi}{3} - 2\sqrt3.$

Thus, the correct answer is B.